20,9 J de calor são adicionados a um certo gás ideal. Como resultado, seu volume aumenta de 50,0 para 100 centímetros cúbicos, enquanto a
pressão permanece constante (1,00 atm). Calcule o calor específico molar a volume constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que 20,9 J de calor foram adicionados a um gás ideal, fazendo com que o volume dele aumente de 50,0 para 100 centímetros cúbicos, mantendo a pressão constante de 1,00 atm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o calor específico molar a volume constante desse gás. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente as leis dos gases ideais e as relações entre calor, temperatura e capacidade térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a temperatura do gás mudou quando o volume aumentou. Como a pressão é constante, podemos usar a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
PV = nRT
Onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ V $ é o volume,
  • $ n $ é a quantidade de matéria (número de mols),
  • $ R $ é a constante dos gases ideais,
  • $ T $ é a temperatura.
Como a pressão $ P $ é constante e queremos ver a variação com o volume e a temperatura, podemos rearranjar a equação para relacionar os estados inicial e final:
P
Isso significa que:
V ³³
Então, $ T_2 = 2 \times T_1 $. Portanto, a temperatura dobrou.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variação de temperatura ($ \Delta T $):
De
Mas precisamos encontrar $ T_1 $. Vamos assumir que $ T_1 $ está em Kelvin. Porém, como não temos valores específicos de temperatura, vamos seguir em termos de $ T_1 $.

Passo 4

Sabemos que o calor adicionado $ Q $ está relacionado com a variação de temperatura através da capacidade térmica:
Q
Onde $ C_p $ é o calor específico molar a pressão constante. Mas queremos encontrar $ C_v $. Sabemos que:
Q = n Cp De
Então, podemos reescrever a equação do calor:
Cp
Agora, precisamos isolar $ C_v $:
Cv

Passo 5

Para encontrar $ n $ (número de mols), usamos a Lei dos Gases Ideais novamente. Considerando o estado inicial:
n
E sabemos que $ \Delta T = T_1 $, então:
n = P V1R T1

Passo 6

Vamos agora inserir os valores:
  • $ Q = 20,9, J $
  • $ R = 8,314, J/(mol \cdot K) $
  • $ P = 1,00, atm = 101325, Pa $ (convertendo para Pascal)
  • $ V_1 = 50,0, cm³ = 0,0500, m³ $ (convertendo para metros cúbicos)
Substituindo:
Q = 20,9, J
R = 8,314, J/(mol cdot K)
P = 1,00, atm = 101325, Pa
V1 = 50,0, cm³ = 0,0500, m³

Resposta

O calor específico molar a volume constante é aproximadamente -8,28, J/(mol·K).

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