Mostre que a fórmula do período das pequenas oscilações do pêndulo físico converte-se na expressão do período do pêndulo simples. Quais suposições devem ser feitas para justificar matematicamente a demonstração?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra mostrar que a fórmula do período das pequenas oscilações de um pêndulo físico se transforma na fórmula do período de um pêndulo simples. Isso está na área de Física, mais especificamente em movimentos oscilatórios. Para resolver, vamos precisar conhecer as fórmulas de ambos os pêndulos e entender as condições em que eles se comportam de forma semelhante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do período $ T $ para um pêndulo físico. O pêndulo físico é qualquer objeto oscilando em torno de um ponto fixo, não necessariamente uma massa na extremidade de um fio. A fórmula é:
T
Onde:
  • $ I $ é o momento de inércia do objeto em relação ao ponto de oscilamento.
  • $ m $ é a massa do objeto.
  • $ g $ é a aceleração da gravidade.
  • $ h $ é a distância do centro de massa até o ponto de sustentação.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a fórmula do período para um pêndulo simples, que é aquele idealizado com uma massa pontual na extremidade de um fio sem massa. A fórmula desse período é:
T = 2pi raizLg
Onde:
  • $ L $ é o comprimento do fio.
  • $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Para fazer a fórmula do pêndulo físico se transformar na do pêndulo simples, precisamos que o pêndulo físico se comporte como um pêndulo simples. Isso acontece quando algumas suposições são feitas:
  1. Massa Concentrada: A massa do pêndulo físico deve estar concentrada em um ponto, ou seja, o momento de inércia $ I $ deve ser igual a $ mL^2 $, onde $ L $ é o comprimento equivalente do pêndulo simples.
  2. Comprimento Equivalente: A distância $ h $ do centro de massa até o ponto de oscilação deve ser igual ao comprimento $ L $ do pêndulo simples.
  3. Pequenas Oscilações: O ângulo de oscilação deve ser pequeno para que possamos usar a aproximação de seno pequeno, garantindo movimentos harmônicos simples.

Passo 5

Aplicando essas suposições na fórmula do pêndulo físico:
I = mL^2 e h = L
Substituindo na fórmula:
T = 2pi raizmL^2mgL = 2pi raizLg

Resposta

Assim, mostramos que, sob as suposições de massa concentrada, comprimento equivalente e pequenas oscilações, a fórmula do período do pêndulo físico se torna:
T = 2pi raizLg
Que é exatamente a fórmula do período do pêndulo simples.

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