Qual o livre caminho médio para 15 esferas em um saco que é sacudido vigorosamente? Considere o volume do saco igual a 1,0 L e o diâmetro das esferas como sendo de 1,0 cm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta qual é o livre caminho médio para 15 esferas dentro de um saco que está sendo sacudido. A gente sabe que o volume do saco é de 1,0 litro e o diâmetro de cada esfera é de 1,0 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física, mais especificamente de mecânica estatística, onde calculamos o caminho médio que uma partícula percorre antes de colidir com outra.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o livre caminho médio. Ele representa a distância média que uma partícula (ou esfera, nesse caso) percorre antes de colidir com outra. A fórmula para calcular o livre caminho médio (λ) é:
lambda = 1raiz2 cdot n cdot pi cdot d^2
Onde:
  • $ n $ é a densidade numérica, ou seja, o número de esferas por unidade de volume.
  • $ d $ é o diâmetro das esferas.

Passo 3

Vamos calcular a densidade numérica $ n $. Sabemos que temos 15 esferas em um volume de 1,0 litro. Primeiro, precisamos converter o volume para centímetros cúbicos, já que o diâmetro está em centímetros.
n
Então,
1,0 litro = 1000 cm^3

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do livre caminho médio.
lambda = 1raiz2 cdot 0,015 cdot pi cdot (1,0)^2
Calculando passo a passo:
  1. $ \sqrt{2} \approx 1,4142 $
  2. Multiplicando: $ 1,4142 \cdot 0,015 \cdot \pi \cdot 1 = 1,4142 \cdot 0,015 \cdot 3,1416 $
  3. Primeiro, $ 1,4142 \cdot 0,015 = 0,021213 $
  4. Depois, $ 0,021213 \cdot 3,1416 \approx 0,06667 $
Então,
raiz2 approx 1,4142

Resposta

O livre caminho médio para as 15 esferas no saco é de aproximadamente 15 cm.

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