Qual o livre caminho médio para 15 esferas em um saco que é sacudido vigorosamente? Considere o volume do saco igual a
e o diâmetro das esferas como sendo de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta qual é o livre caminho médio para 15 esferas dentro de um saco que está sendo sacudido. A gente sabe que o volume do saco é de 1,0 litro e o diâmetro de cada esfera é de 1,0 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física, mais especificamente de mecânica estatística, onde calculamos o caminho médio que uma partícula percorre antes de colidir com outra.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o livre caminho médio. Ele representa a distância média que uma partícula (ou esfera, nesse caso) percorre antes de colidir com outra. A fórmula para calcular o livre caminho médio (λ) é:
Onde:
- $ n $ é a densidade numérica, ou seja, o número de esferas por unidade de volume.
- $ d $ é o diâmetro das esferas.
Passo 3
Vamos calcular a densidade numérica $ n $. Sabemos que temos 15 esferas em um volume de 1,0 litro. Primeiro, precisamos converter o volume para centímetros cúbicos, já que o diâmetro está em centímetros.
Então,
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores na fórmula do livre caminho médio.
Calculando passo a passo:
- $ \sqrt{2} \approx 1,4142 $
- Multiplicando: $ 1,4142 \cdot 0,015 \cdot \pi \cdot 1 = 1,4142 \cdot 0,015 \cdot 3,1416 $
- Primeiro, $ 1,4142 \cdot 0,015 = 0,021213 $
- Depois, $ 0,021213 \cdot 3,1416 \approx 0,06667 $
Então,
Resposta
O livre caminho médio para as 15 esferas no saco é de aproximadamente 15 cm.