Seja
Use a regra da cadeia para obter
.
Passo 1
O enunciado dá as relações
e pede explicitamente as derivadas parciais
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
é função de duas variáveis e . -
e são, por sua vez, funções de e . - Deseja-se
e .
Passo 2
Explicando a regra da cadeia (forma para funções compostas): se
com
e
, então a derivada parcial de
em relação a
é dada por
Analogamente,
Aqui:
-
e são as derivadas parciais de em relação a e (avaliadas no ponto correspondente a ). -
são as derivadas parciais de e em relação a e .
Passo 3
Calculemos
e
. Como
:
- ao derivar em relação a
, é tratado como constante, então
- ao derivar em relação a
, é tratado como constante, então
Passo 4
Calculemos
e
. Como
:
- ao derivar em relação a
, é constante, então
- ao derivar em relação a
, é constante, então
Passo 5
Substituindo os resultados das Passos 3 e 4 nas fórmulas da regra da cadeia (Passo 2), obtemos:
Lembrando que
e
devem ser avaliadas em
. Em notação compacta costuma-se escrever
e
no lugar de
e
.
Passo 6
Comentário didático rápido (forma alternativa que ajuda a lembrar): usar diferenciais. Escrevendo o diferencial total,
com
e
. Coletando coeficientes de
e
recupera-se exatamente as fórmulas para
e
mostradas acima. Esta abordagem é útil para visualizar a origem dos termos.