Seja
z=f(u, v), u=x^{2}+y^{2}, v=x y .
Use a regra da cadeia para obter z_{x} \mathrm{e} z_{y}.

Passo 1

O enunciado dá as relações
z=f(u,v),\qquad u=x^{2}+y^{2},\qquad v=xy,
e pede explicitamente as derivadas parciais \,z_{x} e z_{y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • z é função de duas variáveis u e v.
  • u e v são, por sua vez, funções de x e y.
  • Deseja-se \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Explicando a regra da cadeia (forma para funções compostas): se z=f(u,v) com u=u(x,y) e v=v(x,y), então a derivada parcial de z em relação a x é dada por
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Analogamente,
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\,\frac{\partial v}{\partial y}.
Aqui:
  • \dfrac{\partial f}{\partial u} e \dfrac{\partial f}{\partial v} são as derivadas parciais de f em relação a u e v (avaliadas no ponto (u,v) correspondente a (x,y)).
  • \dfrac{\partial u}{\partial x},\dfrac{\partial v}{\partial x},\dfrac{\partial u}{\partial y},\dfrac{\partial v}{\partial y} são as derivadas parciais de u e v em relação a x e y.

Passo 3

Calculemos \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}. Como u=x^{2}+y^{2}:
  • ao derivar em relação a x, y é tratado como constante, então
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=2x+0=2x.
  • ao derivar em relação a y, x é tratado como constante, então
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=0+2y=2y.

Passo 4

Calculemos \dfrac{\partial v}{\partial x} e \dfrac{\partial v}{\partial y}. Como v=xy:
  • ao derivar em relação a x, y é constante, então
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y.
  • ao derivar em relação a y, x é constante, então
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x.

Passo 5

Substituindo os resultados das Passos 3 e 4 nas fórmulas da regra da cadeia (Passo 2), obtemos:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot(2x)+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot y,
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot(2y)+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot x.
Lembrando que \dfrac{\partial f}{\partial u} e \dfrac{\partial f}{\partial v} devem ser avaliadas em \bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)=\bigl(x^{2}+y^{2},\,xy\bigr). Em notação compacta costuma-se escrever f_{u} e f_{v} no lugar de \dfrac{\partial f}{\partial u} e \dfrac{\partial f}{\partial v}.

Passo 6

Comentário didático rápido (forma alternativa que ajuda a lembrar): usar diferenciais. Escrevendo o diferencial total,
dz=f_{u}\,du+f_{v}\,dv,
com du=2x\,dx+2y\,dy e dv=y\,dx+x\,dy. Coletando coeficientes de dx e dy recupera-se exatamente as fórmulas para z_{x} e z_{y} mostradas acima. Esta abordagem é útil para visualizar a origem dos termos.

Resposta

\displaystyle z_{x}=f_{u}\bigl(x^{2}+y^{2},\,xy\bigr)\cdot 2x+f_{v}\bigl(x^{2}+y^{2},\,xy\bigr)\cdot y
\displaystyle z_{y}=f_{u}\bigl(x^{2}+y^{2},\,xy\bigr)\cdot 2y+f_{v}\bigl(x^{2}+y^{2},\,xy\bigr)\cdot x

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