Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para determinar
, ou seja, a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo. Informações relevantes:
-
e são variáveis independentes. -
é entendida como função implícita . - Queremos
.
Passo 2
O que significa diferenciar essa equação em relação a
?
Significa aplicar a derivada parcial em ambos os lados com tratado como constante e lembrar que
depende de
, então ao derivar termos com
aparece
. Para funções compostas usamos a regra da cadeia; para produtos usamos a regra do produto.
Significa aplicar a derivada parcial em ambos os lados com
Passo 3
Diferencio o lado esquerdo
em relação a
. Pela regra da cadeia:
Agora calculo
. Como
é constante, isso é
vezes a derivada de
. Usando a regra do produto para
:
Portanto
Passo 4
Diferencio o lado direito
em relação a
(lembrando
constante):
Passo 5
Agora igualo as derivadas obtidas nos passos anteriores:
Isolo os termos com
. Primeiro expandir/organizar:
Coloco os termos com
em um lado:
Fatoro
no lado esquerdo:
Passo 6
Finalmente resolvo para
dividindo pelo fator
(desde que seja diferente de zero):
Essa é a expressão procurada para a derivada parcial de
em relação a
. Se desejar, pode-se multiplicar numerador e denominador por
para uma forma alternativa: