e^{x y z}=x+y+z
Determine z_{y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
e^{x y z} = x + y + z
e pede para determinar z_{y}, ou seja, a derivada parcial de z em relação a y mantendo x fixo. Informações relevantes:
  • x e y são variáveis independentes.
  • z é entendida como função implícita z=z(x,y).
  • Queremos \displaystyle z_{y}=\frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

O que significa diferenciar essa equação em relação a y?
Significa aplicar a derivada parcial em ambos os lados com x tratado como constante e lembrar que z depende de y, então ao derivar termos com z aparece \displaystyle z_{y}. Para funções compostas usamos a regra da cadeia; para produtos usamos a regra do produto.

Passo 3

Diferencio o lado esquerdo \,e^{x y z}\, em relação a y. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y} e^{x y z} = e^{x y z}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x y z).
Agora calculo \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x y z). Como x é constante, isso é x vezes a derivada de y z. Usando a regra do produto para y\cdot z(y):
\frac{\partial}{\partial y}(y z) = 1\cdot z + y\cdot z_{y} = z + y z_{y}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial y} e^{x y z} = e^{x y z}\cdot x\,(z + y z_{y}) = e^{x y z}\bigl(x z + x y z_{y}\bigr).

Passo 4

Diferencio o lado direito \,x+y+z\, em relação a y (lembrando x constante):
\frac{\partial}{\partial y}(x+y+z) = 0 + 1 + z_{y} = 1 + z_{y}.

Passo 5

Agora igualo as derivadas obtidas nos passos anteriores:
e^{x y z}\bigl(x z + x y z_{y}\bigr) = 1 + z_{y}.
Isolo os termos com z_{y}. Primeiro expandir/organizar:
e^{x y z}\,x z + e^{x y z}\,x y z_{y} = 1 + z_{y}.
Coloco os termos com z_{y} em um lado:
e^{x y z}\,x y z_{y} - z_{y} = 1 - e^{x y z}\,x z.
Fatoro z_{y} no lado esquerdo:
z_{y}\bigl(e^{x y z}\,x y - 1\bigr) = 1 - e^{x y z}\,x z.

Passo 6

Finalmente resolvo para z_{y} dividindo pelo fator \bigl(e^{x y z}\,x y - 1\bigr) (desde que seja diferente de zero):
z_{y} = \frac{1 - e^{x y z}\,x z}{e^{x y z}\,x y - 1}.
Essa é a expressão procurada para a derivada parcial de z em relação a y. Se desejar, pode-se multiplicar numerador e denominador por -1 para uma forma alternativa:
z_{y} = \frac{e^{x y z}\,x z - 1}{1 - e^{x y z}\,x y}.

Resposta

z_{y}=\frac{1 - e^{x y z}\,x z}{e^{x y z}\,x y - 1}

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