20^{\circ} ) Resolver o sistema \left\{\begin{array}{l}3^{x} \cdot 3^{y} \cdot 3^{z}=1 \\\ \frac{2^{x}}{2^{y} \cdot 2^{z}}=4 \\\\ 4^{-x} \cdot 16^{y} \cdot 4^{z}=\frac{1}{4}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema de equações exponenciais
3^x \cdot 3^y \cdot 3^z = 1,
\frac{2^x}{2^y \cdot 2^z} = 4,
4^{-x} \cdot 16^y \cdot 4^z = \frac{1}{4}.
O conteúdo envolve propriedades de potências (soma de expoentes e mudança de base) para reduzir a um sistema linear em x,y,z.

Passo 2

Usamos as propriedades de potências em cada equação:
  1. 3^x3^y3^z = 3^{x+y+z} = 1 implica
x + y + z = 0.
  1. \frac{2^x}{2^y2^z} = 2^{x-y-z} e 4 = 2^2 dão
x - y - z = 2.
  1. Como 16^y = (4^2)^y = 4^{2y}, a terceira equação vira
4^{-x+2y+z} = \frac{1}{4} = 4^{-1},
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-x + 2y + z = -1.
Assim obtemos o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 0,\\\ x - y - z = 2,\\\\ -x + 2y + z = -1. \end{cases}

Passo 3

Somando a primeira e a segunda equação:
(x+y+z)+(x - y - z) = 0 + 2 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Passo 4

Substituindo x=1\) em \(x+y+z=0\) obtém-se \[1 + y + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y + z = -1.
Na equação -x +2y + z = -1 com x=1 vem
-1 + 2y + z = -1 \quad\Longrightarrow\quad 2y + z = 0.
Resolvendo
\begin{cases} y + z = -1,\\\\ 2y + z = 0, \end{cases}
subtraindo a primeira da segunda dá y=1\] e, então, \(z=-2.

Resposta

(x,y,z) = (1,\,1,\,-2).

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