(a) Um capacitor de 2 \mu \mathrm{~F} está inicialmente descarregado e é conectado em série com um resistor de 100 \Omega e uma bateria de 12 V .
(i) Calcule a constante de tempo do circuito.
(ii) Escreva a expressão para a tensão no capacitor durante o carregamento.
(iii) Qual é a energia armazenada no capacitor após 5 constantes de tempo?
(b) Um circuito RC é usado para descarregar um capacitor de 10 \mu \mathrm{~F} através de um resistor de 1 \mathrm{k} \Omega.
(i) Qual é a equação da corrente no circuito em função do tempo?
(ii) Quanto tempo leva para a tensão no capacitor cair para 37 \% de seu valor inicial?
(c) Desafio: Deduza a equação diferencial para a tensão no capacitor durante o carregamento e resolva-a.

Passo 1

O enunciado trata de circuitos RC em regime de carga e descarga, envolvendo constante de tempo, equação exponencial de tensão e corrente, energia armazenada no capacitor e dedução da equação diferencial para carga. Para resolver vamos usar as fórmulas
1. \tau = R\,C (constante de tempo),
2. \displaystyle v_C(t)=V\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr) (tensão em carga),
3. \displaystyle U=\tfrac12C\,v_C^2 (energia no capacitor),
4. \displaystyle i(t)=\frac{V_0}{R}e^{-t/\tau} (corrente em descarga),
5. método de fator integrante para resolver \displaystyle \frac{dv}{dt}+\frac{1}{RC}v=\frac{V}{RC}.

Passo 2

(a)(i) A constante de tempo é
\tau = R\,C = (100\,\Omega)\,(2\times10^{-6}\,\mathrm{F}) = 2\times10^{-4}\,\mathrm{s}.

Passo 3

(a)(ii) A tensão no capacitor durante a carga assintótica parte de zero e tende a 12,V segundo
v_C(t)=12\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).

Passo 4

(a)(iii) Após 5\tau a tensão vale v_C(5\tau)=12\bigl(1-e^{-5}\bigr). A energia armazenada é
U(5\tau)=\tfrac12\,C\bigl[v_C(5\tau)\bigr]^2 =\tfrac12\,(2\times10^{-6})\Bigl[12\bigl(1-e^{-5}\bigr)\Bigr]^2 \approx1{,}42\times10^{-4}\,\mathrm{J}.

Passo 5

(b)(i) No circuito de descarga, a corrente decai exponencialmente partindo de I_0=V_0/R. Com \tau=R\,C,
i(t)=\frac{V_0}{R}\,e^{-t/\tau}.

Passo 6

(b)(ii) Queremos v_C(t)=V_0\,e^{-t/\tau}=0{,}37\,V_0. Como e^{-1}\approx0{,}37, basta
t=\tau=R\,C=(1{,}0\times10^3\,\Omega)(10\times10^{-6}\,\mathrm{F})=10^{-2}\,\mathrm{s}.

Passo 7

(c) Para a carga, aplicamos Kirchhoff ao laço:
R\,i(t)+v_C(t)=V,\quad i(t)=C\frac{dv_C}{dt}.
Substituindo i(t)
R\,C\frac{dv_C}{dt}+v_C=V \;\Longrightarrow\;\frac{dv_C}{dt}+\frac{1}{RC}v_C=\frac{V}{RC}.
Usando fator integrante \displaystyle \mu=e^{t/(RC)}, chega-se a
v_C(t)=V\Bigl(1-e^{-t/(RC)}\Bigr),
com condição inicial v_C(0)=0.

Resposta

(a)(i) \displaystyle \tau=2\times10^{-4}\,\mathrm{s}.
(a)(ii) \displaystyle v_C(t)=12\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).
(a)(iii) \displaystyle U(5\tau)\approx1{,}42\times10^{-4}\,\mathrm{J}.
(b)(i) \displaystyle i(t)=\frac{V_0}{R}e^{-t/\tau}.
(b)(ii) \displaystyle t=\tau=10^{-2}\,\mathrm{s}.
(c) \displaystyle \frac{dv_C}{dt}+\frac{1}{RC}v_C=\frac{V}{RC}, solução \displaystyle v_C(t)=V\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr).

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