Em coordenadas esféricas e considerando a dependência apenas com o módulo da velocidade (v), podemos reescrever a densidade de probabilidade (\rho) das velocidades moleculares em termos da expressão,
\rho(v)=4 \pi v^{2}\left(\frac{M}{2 \pi R T}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{M}{2 R T} v^{2}}
sendo T a temperatura, M a massa molar da substância e R a constante dos gases perfeitos (para evitar confusão com a nota de aula, temos que M / R=m / k_{B}, sendo m a massa de uma molécula e k_{B} a constante de Boltzmann).
Para T=298 \mathrm{~K}, produza um gráfico contendo as curvas da função \rho(v) correspondentes a 1 mol de \mathrm{O}_{2}, 1 \mathrm{~mol} de hélio e 1 mol de \mathrm{H}_{2}. Também considere o intervalo 0 \leq v \leq 5000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede para plotar, em função de 0\le v\le 5000,m/s e a T=298,K, a distribuição de velocidades moleculares de Maxwell–Boltzmann
\rho(v)=4\pi v^{2}\Bigl(\frac{M}{2\pi RT}\Bigr)^{3/2}\exp\Bigl(-\frac{M}{2RT}v^{2}\Bigr)
para 1 mol de \mathrm{O}_2, 1 mol de He e 1 mol de \mathrm{H}_2. Aqui M é a massa molar em kg/mol, R=8,314,J/(mol·K).

Passo 2

Para cada gás definimos
\displaystyle M_{\mathrm{O_2}}=32\times10^{-3},kg/mol,
\displaystyle M_{\mathrm{He}}=4\times10^{-3},kg/mol,
\displaystyle M_{\mathrm{H_2}}=2\times10^{-3},kg/mol.

Passo 3

Em Python, usamos numpy para gerar o vetor de velocidades e matplotlib para plotar. A função densidade será:
def rho(v, M, T=298.0, R=8.314):
    coef = 4 * np.pi * v**2 * (M/(2*np.pi*R*T))**1.5
    return coef * np.exp(-M*v**2/(2*R*T))

Passo 4

Montamos o gráfico definindo o intervalo e plotando cada curva:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Constantes
T = 298.0                     # Temperatura em K
R = 8.314                     # Constante dos gases em J/(mol·K)
molares = {
    'O₂': 32e-3,              # kg/mol
    'He': 4e-3,               # kg/mol
    'H₂': 2e-3                # kg/mol
}

# Função densidade
def rho(v, M, T=T, R=R):
    coef = 4 * np.pi * v**2 * (M/(2*np.pi*R*T))**1.5
    return coef * np.exp(-M*v**2/(2*R*T))

# Gerar velocidades
v = np.linspace(0, 5000, 1000)  # m/s

# Plot
plt.figure(figsize=(8,5))
for gas, M in molares.items():
    plt.plot(v, rho(v, M), label=gas)

plt.title('Distribuição de Maxwell–Boltzmann das velocidades a 298 K')
plt.xlabel('Velocidade \(v\) (m/s)')
plt.ylabel(r'\(\rho(v)\) (s/m)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.xlim(0, 5000)
plt.tight_layout()
plt.show()

Resposta

O código acima gera o gráfico com as três curvas de \rho(v) para \mathrm{O}_2, He e \mathrm{H}_2 no intervalo 0\le v\le5000,m/s a T=298,K.

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