Em coordenadas esféricas e considerando a dependência apenas com o módulo da velocidade
, podemos reescrever a densidade de probabilidade
das velocidades moleculares em termos da expressão,
sendo
a temperatura,
a massa molar da substância e
a constante dos gases perfeitos (para evitar confusão com a nota de aula, temos que
, sendo
a massa de uma molécula e
a constante de Boltzmann).
Para
, produza um gráfico contendo as curvas da função
correspondentes a 1 mol de
de hélio e 1 mol de
. Também considere o intervalo
.
Para
Passo 1
O enunciado pede para plotar, em função de
,m/s e a
,K, a distribuição de velocidades moleculares de Maxwell–Boltzmann
para 1 mol de
, 1 mol de He e 1 mol de
. Aqui
é a massa molar em kg/mol,
,J/(mol·K).
Passo 2
Para cada gás definimos
,kg/mol,
,kg/mol,
,kg/mol.
Passo 3
Em Python, usamos
numpy
para gerar o vetor de velocidades e matplotlib
para plotar. A função densidade será:def rho(v, M, T=298.0, R=8.314):
coef = 4 * np.pi * v**2 * (M/(2*np.pi*R*T))**1.5
return coef * np.exp(-M*v**2/(2*R*T))
Passo 4
Montamos o gráfico definindo o intervalo e plotando cada curva:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Constantes
T = 298.0 # Temperatura em K
R = 8.314 # Constante dos gases em J/(mol·K)
molares = {
'O₂': 32e-3, # kg/mol
'He': 4e-3, # kg/mol
'H₂': 2e-3 # kg/mol
}
# Função densidade
def rho(v, M, T=T, R=R):
coef = 4 * np.pi * v**2 * (M/(2*np.pi*R*T))**1.5
return coef * np.exp(-M*v**2/(2*R*T))
# Gerar velocidades
v = np.linspace(0, 5000, 1000) # m/s
# Plot
plt.figure(figsize=(8,5))
for gas, M in molares.items():
plt.plot(v, rho(v, M), label=gas)
plt.title('Distribuição de Maxwell–Boltzmann das velocidades a 298 K')
plt.xlabel('Velocidade \(v\) (m/s)')
plt.ylabel(r'\(\rho(v)\) (s/m)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.xlim(0, 5000)
plt.tight_layout()
plt.show()
Resposta
O código acima gera o gráfico com as três curvas de
para
, He e
no intervalo
,m/s a
,K.