21^{\circ} Discutir os sistemas nas variáveis \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}. \left\{\begin{array}{l}x+3 y-z=0 \\\ m x-y+2 z=0 \\\\ 5 x+2 y+z=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para “discutir” o sistema homogêneo nas variáveis \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\) dependendo do parâmetro \(m\):
\[\begin{cases} x + 3y - z = 0,\\\ m x - y + 2z = 0,\\\\ 5x + 2y + z = 0. \end{cases}
Como é um sistema homogêneo de 3\] equações e \(3 incógnitas, vamos verificar o determinante da matriz dos coeficientes para saber quando ele é invertível (caso em que só há a solução trivial) e quando é singular (caso em que pode haver soluções não-triviais).
Passo 2
Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\\ m & -1 & 2\\\\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos o determinante \det(A) por desenvolvimento na primeira linha:
Se m \neq 4, então \det(A)\neq 0 e a matriz é invertível. Num sistema homogêneo invertível a única solução é a trivial:
(x,y,z) = (0,0,0).
Passo 4
Se m = 4\), então \(\det(A)=0\) e o sistema é singular. Vamos encontrar as soluções não-triviais. Substituindo \(m=4\), as equações são
\[\begin{cases} x + 3y - z = 0,\\\\ 4x - y + 2z = 0,\\\\ 5x + 2y + z = 0. \end{cases}
Da primeira equação isolamos x = -3y + z\].
Na segunda:
\[4(-3y+z) - y + 2z = 0 \;\Longrightarrow\; -12y +4z - y +2z = 0 \;\Longrightarrow\; -13y +6z = 0 \;\Longrightarrow\; y = \frac{6}{13}\,z.\]
Então
\[x = -3\cdot\frac{6}{13}\,z + z = \Bigl(-\frac{18}{13} + \frac{13}{13}\Bigr)z = -\frac{5}{13}\,z.\]
A terceira equação se confirma automaticamente. Logo as soluções formam um espaço unidimensional, com parâmetro \(t = z: