21^{\circ} Discutir os sistemas nas variáveis \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}.
\left\{\begin{array}{l}x+3 y-z=0 \\\ m x-y+2 z=0 \\\\ 5 x+2 y+z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para “discutir” o sistema homogêneo nas variáveis \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\) dependendo do parâmetro \(m\): \[\begin{cases} x + 3y - z = 0,\\\ m x - y + 2z = 0,\\\\ 5x + 2y + z = 0. \end{cases}
Como é um sistema homogêneo de 3\] equações e \(3 incógnitas, vamos verificar o determinante da matriz dos coeficientes para saber quando ele é invertível (caso em que só há a solução trivial) e quando é singular (caso em que pode haver soluções não-triviais).

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\\ m & -1 & 2\\\\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos o determinante \det(A) por desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1&2\\\ 2&1\end{pmatrix} -3\cdot\det\!\begin{pmatrix}m&2\\\ 5&1\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\!\begin{pmatrix}m&-1\\\ 5&2\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\!\begin{pmatrix}-1&2\\\ 2&1\end{pmatrix} = -1\cdot1 - 2\cdot2 = -5,
\det\!\begin{pmatrix}m&2\\\ 5&1\end{pmatrix} = m\cdot1 - 2\cdot5 = m - 10,
\det\!\begin{pmatrix}m&-1\\\ 5&2\end{pmatrix} = m\cdot2 - (-1)\cdot5 = 2m + 5.
Logo
\det(A) = 1\cdot(-5) -3\,(m-10) -1\,(2m+5) = -5 -3m +30 -2m -5 = 20 - 5m = 5\,(4 - m).

Passo 3

Se m \neq 4, então \det(A)\neq 0 e a matriz é invertível. Num sistema homogêneo invertível a única solução é a trivial:
(x,y,z) = (0,0,0).

Passo 4

Se m = 4\), então \(\det(A)=0\) e o sistema é singular. Vamos encontrar as soluções não-triviais. Substituindo \(m=4\), as equações são \[\begin{cases} x + 3y - z = 0,\\\\ 4x - y + 2z = 0,\\\\ 5x + 2y + z = 0. \end{cases}
Da primeira equação isolamos x = -3y + z\]. Na segunda: \[4(-3y+z) - y + 2z = 0 \;\Longrightarrow\; -12y +4z - y +2z = 0 \;\Longrightarrow\; -13y +6z = 0 \;\Longrightarrow\; y = \frac{6}{13}\,z.\] Então \[x = -3\cdot\frac{6}{13}\,z + z = \Bigl(-\frac{18}{13} + \frac{13}{13}\Bigr)z = -\frac{5}{13}\,z.\] A terceira equação se confirma automaticamente. Logo as soluções formam um espaço unidimensional, com parâmetro \(t = z:
(x,y,z) = t\Bigl(-\tfrac{5}{13},\,\tfrac{6}{13},\,1\Bigr),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Para m\neq 4: única solução (x,y,z)=(0,0,0).
Para m=4: infinitas soluções dadas por
(x,y,z) = t\Bigl(-\tfrac{5}{13},\,\tfrac{6}{13},\,1\Bigr),\quad t\in\mathbb{R}.

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