Encontre os coeficientes a,bec, a concavidade, o ponto de encontro com o eixo y, as raízes, o vértice e represente graficamente a função quadrática a seguir:
y=8 x^2-3 x-5

Passo 1

Temos uma função quadrática dada por y=8x^2-3x-5. O conteúdo aqui é análise de funções quadráticas: vamos precisar identificar coeficientes, usar a fórmula de Bhaskara para raízes, aplicar a fórmula do vértice e entender concavidade, intercepto em y e como desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro identificamos os coeficientes diretamente da forma y=ax^2+bx+c. Aqui a=8, b=-3 e c=-5.

Passo 3

Para saber a concavidade, lembramos que se a>0 a parábola abre para cima (como um sorriso) e se a<0 abre para baixo. Como a=8>0, a concavidade é para cima.

Passo 4

O ponto de encontro com o eixo y ocorre em x=0. Substituindo na função:

Passo 5

y(0)=8cdot0^2-3cdot0-5=-5,

Passo 6

logo o intercepto em y é o ponto (0,-5).

Passo 7

Para encontrar as raízes, usamos a fórmula de Bhaskara. Primeiro calculamos o discriminante:

Passo 8

De<a=b^2-4ac=(-3)^2-4cdot8cdot(-5)=9+160=169

Passo 9

As raízes são dadas por

Passo 10

x=-bpmraizDe<a2a=-(-3)pm132cdot8=3pm1316

Passo 11

Então

Passo 12

x1=3+1316=1, x2=3-1316=-1016=-58

Passo 13

O vértice (xv,yv) de uma parábola y=ax^2+bx+c fica em xv=-tfracb2a. Aqui

Passo 14

xv=--32cdot8=316

Passo 15

Para achar yv, substituímos xv na função:

Passo 16

yv=8l(316r)^2-3l(316r)-5=8cdot9256-916-5=72256-916-5=932-1832-16032=-16932

Passo 17

Portanto o vértice é l(tfrac316,-tfrac16932r).

Passo 18

Para representar graficamente, desenhamos uma parábola que abre para cima, com vértice em (3/16,-169/32), intercepto em (0,-5) e cruzando o eixo x em x=-5/8 e x=1.

Resposta

a = 8, b = -3, c = -5; concavidade para cima; intercepto em y: (0, -5); raízes: x = 1 e x = -5/8; vértice: (3/16, -169/32).

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