1.22 Calcule lim h 0 f(a+h)-f(a)h, onde f(x)=e^x e a in R é uma constante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite que define a derivada de f(x)=e^x no ponto x=a, ou seja,
limhto0f(a+h)-f(a)h
O conteúdo aqui é a derivada da função exponencial, usando a definição de limite da diferença quociente e propriedades de e^x.

Passo 2

Escrevendo f(a+h) em termos de e^x, temos
f(a+h)=e^,a+h=e^a,e^h
Logo o quociente fica
f(a+h)-f(a)h =e^a e^h - e^ah

Passo 3

Fatorando e^a fora do numerador, obtemos
f(a+h)-f(a)h = e^a ,e^h - 1h

Passo 4

Sabemos, seja pela série de Taylor de e^h ou pela definição da derivada em zero, que
limhto0e^h - 1h = 1
Portanto o limite solicitado é
limhto0f(a+h)-f(a)h = e^a ;cdot;1

Resposta

limhto0f(a+h)-f(a)h = e^a

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