1.23 Seja A=[ll5 & 2 0 & k]. Encontre os valores de k tais que A é a raiz do polinômio h(x)=x^2-4.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 5 & 2 0 & k
e o polinômio h(x)=x^2-4. Queremos os valores de k tais que
h(A)=A^2-4I = 0
O conteúdo aqui é a avaliação de um polinômio numa matriz: basta calcular A^2, subtrair 4I e forçar cada entrada a zero.

Passo 2

Calculemos
A^2 = 5 & 2 0 & k 5 & 2 0 & k = 5cdot5 + 2cdot0 & 5cdot2 + 2cdot k [4pt] 0cdot5 + kcdot0 & 0cdot2 + kcdot k = 25 & 10 + 2k [4pt] 0 & k^2 ]

Passo 3

Agora
h(A)=A^2 - 4I = 25 & 10 + 2k [4pt] 0 & k^2 - 4 & 0 [4pt] 0 & 4 = 25 - 4 & 10 + 2k [4pt] 0 & k^2 - 4
Queremos essa matriz igual à matriz nula, ou seja, cada entrada deve ser zero.]

Passo 4

Das entradas obtemos o sistema
25 - 4 = 0, 10 + 2k = 0, k^2 - 4 = 0
A primeira equação dá 21=0, que é impossível. Mesmo que das outras viessem k=-5 e k=pm2, não há valor de k que satisfaça simultaneamente todas as condições.

Resposta

Não existe valor de k que torne A raiz do polinômio h(x)=x^2-4.

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