(20) Determine constantes A e B reais de modo que a função abaixo seja contínua em R :
l x^2-4x-2, se x<2 A x^2-B x+3, se 2 <= x<3 2 x-A+B, se x >= 3

Passo 1

O enunciado define a função por partes em três intervalos e pede que ela seja contínua em R. Para isso precisamos impor continuidade em x=2 e em x=3, ou seja, igualar os limites laterais nesses pontos aos valores definidos nos ramos correspondentes.

Passo 2

Para x<2 temos
f(x)=x^2-4x-2=(x-2)(x+2)x-2=x+2
Logo
limxto2^-f(x)=2+2=4

Passo 3

No ramo do meio, para 2<= x<3, vale f(x)=A x^2-B x+3. A continuidade em x=2 exige
f(2)=4Longrightarrow Acdot2^2-Bcdot2+3=4
ou seja
4A-2B=1

Passo 4

Ainda no ramo do meio, ao aproximar xto3^- temos
limxto3^-f(x)=9A-3B+3
No ramo de x>=3 vale f(x)=2x-A+B, logo
f(3)=6-A+B
Impondo continuidade em x=3:
9A-3B+3=6-A+B Longrightarrow 10A-4B=3

Passo 5

Resolvendo o sistema
4A-2B=1, 10A-4B=3,
multiplicando a primeira equação por 2 obtém-se 8A-4B=2. Subtraindo dessa a segunda equação:
(10A-4B)-(8A-4B)=3-2 Longrightarrow 2A=1 Longrightarrow A=tfrac12
Substituindo em 4A-2B=1 resulta
4cdottfrac12-2B=1 Longrightarrow 2-2B=1 Longrightarrow B=tfrac12

Resposta

A=tfrac12 e B=tfrac12.

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