(20) Determine constantes e reais de modo que a função abaixo seja contínua em :
Passo 1
O enunciado define a função por partes em três intervalos e pede que ela seja contínua em R. Para isso precisamos impor continuidade em x=2 e em x=3, ou seja, igualar os limites laterais nesses pontos aos valores definidos nos ramos correspondentes.
Passo 2
Para x<2 temos
f(x)=x^2-4x-2=(x-2)(x+2)x-2=x+2
Logo
limxto2^-f(x)=2+2=4
Passo 3
No ramo do meio, para 2<= x<3, vale f(x)=A x^2-B x+3. A continuidade em x=2 exige
f(2)=4Longrightarrow Acdot2^2-Bcdot2+3=4
ou seja
4A-2B=1
Passo 4
Ainda no ramo do meio, ao aproximar xto3^- temos
limxto3^-f(x)=9A-3B+3
No ramo de x>=3 vale f(x)=2x-A+B, logo
f(3)=6-A+B
Impondo continuidade em x=3:
9A-3B+3=6-A+B Longrightarrow 10A-4B=3
Passo 5
Resolvendo o sistema
4A-2B=1, 10A-4B=3,
multiplicando a primeira equação por 2 obtém-se 8A-4B=2. Subtraindo dessa a segunda equação: