Considere o campo
Y(x, y)=(F, G)=1x^2+y^2(-y, x)
i) Mostre que Y não é conservativo em R^2 backslash(0,0).
ii) Verifique f(x, y)=-arctan (xy) é tal que Y=(fx, fy). Calcule o domínio de f.
iii) Mostre que o campo Y^perp (ortogonal a Y ) é conservativo em R^2 backslash(0,0) e encontre h tal que Y^perp=(hx, hy).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
Y(x,y)=(F,G)=1x^2+y^2,(-y,;x)
em R^2setminus(0,0) e pede:
i) mostrar que Y não é conservativo;
ii) verificar que
f(x,y)=-arctan!l(tfrac xyr)
satisfaz Y=(fx,fy) e determinar o domínio de f;
iii) definir o campo ortogonal Y^perp, provar que é conservativo e encontrar h tal que Y^perp=(hx,hy).

Passo 2

Para ver que Y não é conservativo, basta calcular a circulação em torno do círculo unitário
C: x=cos t, y=sin t, tin[0,2pi]
Temos
Y(cos t,sin t)=(-sin t,cos t), d r=(-sin t,cos t), dt,
então
ointC Ycdot d r =integral0^2pi(-sin t,cos t)cdot(-sin t,cos t), dt =integral0^2pi(sin^2t+cos^2t), dt =2pineq0
Como a integral de linha em um ciclo fechado é não nula, Y não é conservativo em R^2setminus0.

Passo 3

Para verificar que
f(x,y)=-arctan!l(tfrac xyr)
é potencial de Y, calculamos:
u=tfrac xy, partial upartial x=1y, partial upartial y=- xy^2
Logo
fx =-11+u^2,partial upartial x =-11+tfracx^2y^2cdot1y =- yx^2+y^2 =F,
fy =-11+u^2,partial upartial y =-11+tfracx^2y^2cdotl(- xy^2r) = xx^2+y^2 =G

Passo 4

O domínio natural de
f(x,y)=-arctan!l(tfrac xyr)
é o conjunto onde yneq0, pois precisamos de tfrac xy bem definido. Em particular R^2setminusy=0 se decompõe em dois domínios simplesmente conectos: a “parte de cima” y>0 e a “parte de baixo” y<0. Em cada um deles f é uma potencial válida de Y.

Passo 5

Definimos o campo ortogonal
Y^perp(x,y)=(G,,-F) =1x^2+y^2,l(x,;yr)
Calculamos
partialpartial yl( xx^2+y^2r) =-2xy(x^2+y^2)^2, partialpartial xl( yx^2+y^2r) =-2xy(x^2+y^2)^2,
logo
partialy (hx)=partialx(hy) e Y^perp é irrotacional em R^2setminus0.

Passo 6

Para encontrar h tal que (hx,hy)=Y^perp, integramos:
hx= xx^2+y^2 implies h(x,y)=tfrac12ln!l(x^2+y^2r)+varphi(y)
Derivando em y,
hy= yx^2+y^2+varphi'(y),
mas queremos hy=y/(x^2+y^2), então varphi'(y)=0. Logo podemos tomar
h(x,y)=tfrac12ln!l(x^2+y^2r)

Resposta

i) Y não é conservativo porque sua circulação ao longo do círculo unitário vale 2pineq0.
ii) De fato
f(x,y)=-arctan!l(tfrac xyr)
satisfaz Y=(fx,fy). O domínio de f é (x,y)mid yneq0, que se divide em y>0 e y<0.
iii)
Y^perp(x,y)=1x^2+y^2,(x,y)
é conservativo em R^2setminus0 e um potencial é
h(x,y)=tfrac12ln!l(x^2+y^2r)

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