Considere o campo
i) Mostre que
não é conservativo em
.
ii) Verifique
é tal que
. Calcule o domínio de
.
iii) Mostre que o campo
(ortogonal a
) é conservativo em
e encontre
tal que
.
ii) Verifique
iii) Mostre que o campo
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
em
e pede:
i) mostrar que não é conservativo;
ii) verificar que
i) mostrar que
ii) verificar que
satisfaz
e determinar o domínio de
;
iii) definir o campo ortogonal , provar que é conservativo e encontrar
tal que
.
iii) definir o campo ortogonal
Passo 2
Para ver que
não é conservativo, basta calcular a circulação em torno do círculo unitário
Temos
então
Como a integral de linha em um ciclo fechado é não nula,
não é conservativo em
.
Passo 3
Para verificar que
é potencial de
, calculamos:
Logo
Passo 4
O domínio natural de
é o conjunto onde , pois precisamos de
bem definido. Em particular
se decompõe em dois domínios simplesmente conectos: a “parte de cima”
e a “parte de baixo”
. Em cada um deles
é uma potencial válida de
.
é o conjunto onde
Passo 5
Definimos o campo ortogonal
Calculamos
logo
e
é irrotacional em
.
Passo 6
Para encontrar
tal que
, integramos:
Derivando em
,
mas queremos
, então
. Logo podemos tomar
Resposta
i)
não é conservativo porque sua circulação ao longo do círculo unitário vale
.
ii) De fato
satisfaz . O domínio de
é
, que se divide em
e
.
iii)
ii) De fato
satisfaz
iii)
é conservativo em
e um potencial é