Calcular os limites usando as regras de L’Hospital
lim x 3 2^x-8sen(x^2-9)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto32^x-8senl(x^2-9r)
usando a regra de L\’Hospital. Como ao substituir x=3 obtemos a forma indeterminada tfrac00, podemos aplicar L\’Hospital, isto é, derivar numerador e denominador em relação a x.

Passo 2

Verificação da indeterminação:
2^3-8=8-8=0, sen(3^2-9)=sen(0)=0
Logo, temos a forma tfrac00.

Passo 3

Aplicando L\’Hospital, derivamos numerador e denominador:
– Numerador: se f(x)=2^x, então
f'(x)=2^xln 2,
e a constante -8 desaparece.
– Denominador: seja g(x)=senl(x^2-9r). Então
g'(x)=cosl(x^2-9r)cdotddx(x^2-9) =cosl(x^2-9r)cdot2x
Portanto, pela regra de L\’Hospital,
limxto32^x-8sen(x^2-9) =limxto32^xln 22xcos(x^2-9)

Passo 4

Agora basta substituir x=3 na expressão já sem indeterminação:
2^3ln 22cdot3cdotcos(3^2-9) =8ln 26cdotcos(0) =8ln 26cdot1 =8ln 26 =4ln 23

Resposta

limxto32^x-8senl(x^2-9r) =4ln 23

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