Calcular os limites usando as regras de L’Hospital
lim x 0(3^8 x-1x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 03^8x-1x
usando a regra de L’Hospital. Isso envolve uma forma indeterminada do tipo 0/0.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação ao substituir x=0:
3^8cdot 0-1 = 3^0 -1 = 1-1 = 0
e o denominador x também vale 0. Logo temos a forma 0/0.

Passo 3

A regra de L’Hospital diz que, se
limxto af(x)=0 e limxto ag(x)=0,
então
limxto af(x)g(x) =limxto af'(x)g'(x),
desde que o limite do quociente das derivadas exista.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
a função do numerador é f(x)=3^8x-1. Usando a regra da exponencial,
f'(x)=ddx3^8x =3^8xcdotln(3)cdot 8
O denominador é g(x)=x, logo g'(x)=1.

Passo 5

Aplicando L’Hospital:
limxto 03^8x-1x =limxto 03^8x,8ln(3)1 =8ln(3)cdot3^0 =8ln(3)

Resposta

8ln(3)

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