(3,0 Pontos) Muitas variedades de lasers emitem luz na forma de pulsos em vez de um feixe contínuo. Um laser de telúrio-safira pode produzir luz a um comprimento de onda de 800 nm em pulsos ultracurtos que duram apenas
. A energia em um único pulso produzido por um laser desse tipo é de
, e os pulsos se propagam na direção positiva de
. Determine
a) (0,5 Ponto) A frequência da luz;
b) ( 0,5 Ponto) A energia e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso;
c) (0,5 Ponto) A incerteza mínima da frequência da luz no pulso;
(d)
Ponto) O comprimento deste pulso medido em comprimentos de onda;
e) ( 0,5 Ponto) O momento linear e a incerteza mínima do momento linear de um único fóton no pulso
b) ( 0,5 Ponto) A energia e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso;
c) (0,5 Ponto) A incerteza mínima da frequência da luz no pulso;
(d)
e) ( 0,5 Ponto) O momento linear e a incerteza mínima do momento linear de um único fóton no pulso
Passo 1
O enunciado fornece: comprimento de onda
, duração do pulso
, e energia por pulso
. Os pulsos se propagam na direção positiva de
.\n
As perguntas são:
a) Determinar a frequência da luz.\n
b) Determinar a energia de um único fóton e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso.\n
c) Determinar a incerteza mínima da frequência da luz no pulso.\n
d) Determinar o comprimento espacial do pulso expresso em comprimentos de onda (ou seja, quantas ondas cabem no pulso).\n
e) Determinar o momento linear de um único fóton e a incerteza mínima do momento linear desse fóton.\n
Dados físicos usados (valores numéricos padrão): velocidade da luz , constante de Planck
, constante reduzida
.
As perguntas são:
a) Determinar a frequência da luz.\n
b) Determinar a energia de um único fóton e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso.\n
c) Determinar a incerteza mínima da frequência da luz no pulso.\n
d) Determinar o comprimento espacial do pulso expresso em comprimentos de onda (ou seja, quantas ondas cabem no pulso).\n
e) Determinar o momento linear de um único fóton e a incerteza mínima do momento linear desse fóton.\n
Dados físicos usados (valores numéricos padrão): velocidade da luz
Passo 2
Vamos achar a frequência usando a relação básica entre comprimento de onda e frequência:
.\n
Explicação do conceito: a luz no vácuo viaja à velocidade . Uma onda tem comprimento
e avança uma distância
em um período
. A frequência é
. Por isso
.\n
Aplicando numericamente (convertendo para metros:
):
Explicação do conceito: a luz no vácuo viaja à velocidade
Aplicando numericamente (convertendo
Passo 3
Energia de um único fóton: usamos a relação de Planck
.\n
Explicação do conceito: a luz é quantizada em fótons, cada fóton com energia proporcional à sua frequência
. A constante de proporcionalidade é
.\n
Calculando:
Explicação do conceito: a luz é quantizada em fótons, cada fóton com energia
Calculando:
Podemos também expressar em elétron-volts se quiser contexto:
, então
(apenas referência).
Passo 4
Incerteza mínima da energia de um único fóton: usamos o princípio de incerteza tempo-energia
.\n
Explicação do conceito: para pulsos muito curtos, a energia dos fótons não pode ser conhecida arbitrariamente bem — existe um limite mínimo de incerteza relacionado ao tempo de duração do pulso. A forma usual de estimar a incerteza mínima é tomar a igualdade aproximada .\n
Calculando:
Explicação do conceito: para pulsos muito curtos, a energia dos fótons não pode ser conhecida arbitrariamente bem — existe um limite mínimo de incerteza relacionado ao tempo de duração do pulso. A forma usual de estimar a incerteza mínima é tomar a igualdade aproximada
Calculando:
Comentário prático: isso significa que a energia de cada fóton está pelo menos indeterminada em cerca de
, ou cerca de
.
Passo 5
Incerteza mínima da frequência: relacionamos energia e frequência por
. Diferenciando (ou usando pequenas variações),
. Logo
Também é útil a forma direta obtida combinando com
:
Calculando numericamente (uso da primeira expressão com
):
Interpretação: a largura espectral mínima do pulso é cerca de
.
Passo 6
Comprimento espacial do pulso e quantos comprimentos de onda cabem nele.\n
O comprimento espacial do pulso (no vácuo) é simplesmente a distância que a luz percorre durante :
O comprimento espacial do pulso (no vácuo) é simplesmente a distância que a luz percorre durante
Calculando:
Número de comprimentos de onda no pulso:
Interpretação: o pulso tem comprimento espacial equivalente a cerca de
ciclos da onda — muito curto, é um “pulso de poucas ondas”.
Passo 7
Momento linear de um fóton e incerteza mínima do momento.\n
Relação entre energia e momento para fótons: , assim o momento é
Relação entre energia e momento para fótons:
Explicação: fotóns têm momento mesmo sem massa de repouso; para fótons
.\n
Calculando:
Calculando:
Incerteza mínima do momento: como
, a incerteza mínima segue
. Calculamos:
Comentário: a incerteza relativa
é aproximadamente a mesma que
, aqui cerca de
(ou
).
Resposta
a)
\n
b) ;
\n
c) \n
d) comprimento do pulso ; equivalente a
comprimentos de onda\n
e) ;
b)
c)
d) comprimento do pulso
e)