(3,0 Pontos) Muitas variedades de lasers emitem luz na forma de pulsos em vez de um feixe contínuo. Um laser de telúrio-safira pode produzir luz a um comprimento de onda de 800 nm em pulsos ultracurtos que duram apenas 4,00 \times 10^{-15} \mathrm{~s}. A energia em um único pulso produzido por um laser desse tipo é de 2,00 \mu \mathrm{~J}, e os pulsos se propagam na direção positiva de x. Determine
a) (0,5 Ponto) A frequência da luz;
b) ( 0,5 Ponto) A energia e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso;
c) (0,5 Ponto) A incerteza mínima da frequência da luz no pulso;
(d) (0,5 Ponto) O comprimento deste pulso medido em comprimentos de onda;
e) ( 0,5 Ponto) O momento linear e a incerteza mínima do momento linear de um único fóton no pulso

Passo 1

O enunciado fornece: comprimento de onda \lambda = 800\\ \text{nm}, duração do pulso \Delta t = 4{,}00\times 10^{-15}\\ \text{s}, e energia por pulso E_{\text{pulso}}=2{,}00\\ \mu\text{J}. Os pulsos se propagam na direção positiva de x.\n
As perguntas são:
a) Determinar a frequência da luz.\n
b) Determinar a energia de um único fóton e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso.\n
c) Determinar a incerteza mínima da frequência da luz no pulso.\n
d) Determinar o comprimento espacial do pulso expresso em comprimentos de onda (ou seja, quantas ondas cabem no pulso).\n
e) Determinar o momento linear de um único fóton e a incerteza mínima do momento linear desse fóton.\n
Dados físicos usados (valores numéricos padrão): velocidade da luz c = 3{,}00\times 10^{8}\\ \text{m/s}, constante de Planck h = 6{,}626\times 10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}, constante reduzida \hbar = \dfrac{h}{2\pi} \approx 1{,}055\times 10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}.

Passo 2

Vamos achar a frequência usando a relação básica entre comprimento de onda e frequência: \nu = \dfrac{c}{\lambda}.\n
Explicação do conceito: a luz no vácuo viaja à velocidade c. Uma onda tem comprimento \lambda e avança uma distância \lambda em um período T. A frequência é \nu = 1/T. Por isso \nu = c/\lambda.\n
Aplicando numericamente (convertendo \lambda para metros: 800\\ \text{nm}=800\times 10^{-9}\\ \text{m}):
\lambda = 800\times 10^{-9}\\ \text{m}=8{,}00\times 10^{-7}\\ \text{m},
\nu=\frac{c}{\lambda}=\frac{3{,}00\times 10^{8}}{8{,}00\times 10^{-7}}=3{,}75\times 10^{14}\\ \text{Hz}.

Passo 3

Energia de um único fóton: usamos a relação de Planck E = h\nu.\n
Explicação do conceito: a luz é quantizada em fótons, cada fóton com energia E proporcional à sua frequência \nu. A constante de proporcionalidade é h.\n
Calculando:
E_{\text{fóton}}=h\nu=(6{,}626\times 10^{-34})(3{,}75\times 10^{14})=2{,}48\times 10^{-19}\\ \text{J}.ó
Podemos também expressar em elétron-volts se quiser contexto: 1\\ \text{eV}=1{,}602\times 10^{-19}\\ \text{J}, então E_{\text{fóton}}\approx 1{,}55\\ \text{eV}ó (apenas referência).

Passo 4

Incerteza mínima da energia de um único fóton: usamos o princípio de incerteza tempo-energia \Delta E\,\Delta t \gtrsim \dfrac{\hbar}{2}.\n
Explicação do conceito: para pulsos muito curtos, a energia dos fótons não pode ser conhecida arbitrariamente bem — existe um limite mínimo de incerteza relacionado ao tempo de duração do pulso. A forma usual de estimar a incerteza mínima é tomar a igualdade aproximada \Delta E_{\min} \approx \dfrac{\hbar}{2\Delta t}.\n
Calculando:
\Delta E_{\min}=\frac{\hbar}{2\Delta t}=\frac{1{,}055\times 10^{-34}}{2(4{,}00\times 10^{-15})} =\frac{1{,}055\times 10^{-34}}{8{,}00\times 10^{-15}} =1{,}32\times 10^{-20}\\ \text{J}.
Comentário prático: isso significa que a energia de cada fóton está pelo menos indeterminada em cerca de 1{,}32\times 10^{-20}\\ \text{J}, ou cerca de 0{,}083\\ \text{eV}.

Passo 5

Incerteza mínima da frequência: relacionamos energia e frequência por E=h\nu. Diferenciando (ou usando pequenas variações), \Delta E = h\,\Delta \nu. Logo
\Delta \nu_{\min}=\frac{\Delta E_{\min}}{h}.
Também é útil a forma direta obtida combinando com \Delta E_{\min}=\hbar/(2\Delta t):
\Delta \nu_{\min}=\frac{\hbar}{2h\Delta t}=\frac{1}{4\pi\Delta t}.
Calculando numericamente (uso da primeira expressão com \Delta E_{\min}):
\Delta \nu_{\min}=\frac{1{,}32\times 10^{-20}}{6{,}626\times 10^{-34}}=1{,}99\times 10^{13}\\ \text{Hz}.
Interpretação: a largura espectral mínima do pulso é cerca de 2{,}0\times 10^{13}\\ \text{Hz}.

Passo 6

Comprimento espacial do pulso e quantos comprimentos de onda cabem nele.\n
O comprimento espacial do pulso (no vácuo) é simplesmente a distância que a luz percorre durante \Delta t:
L = c\,\Delta t.
Calculando:
L=(3{,}00\times 10^{8})(4{,}00\times 10^{-15})=1{,}20\times 10^{-6}\\ \text{m}=1{,}20\\ \mu\text{m}.
Número de comprimentos de onda no pulso:
N=\frac{L}{\lambda}=\frac{1{,}20\times 10^{-6}}{8{,}00\times 10^{-7}}=1{,}50.
Interpretação: o pulso tem comprimento espacial equivalente a cerca de 1{,}5 ciclos da onda — muito curto, é um “pulso de poucas ondas”.

Passo 7

Momento linear de um fóton e incerteza mínima do momento.\n
Relação entre energia e momento para fótons: E = pc, assim o momento é
p=\frac{E_{\text{fóton}}}{c}=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda}.ó
Explicação: fotóns têm momento mesmo sem massa de repouso; para fótons p=E/c.\n
Calculando:
p=\frac{h}{\lambda}=\frac{6{,}626\times 10^{-34}}{8{,}00\times 10^{-7}}=8{,}28\times 10^{-28}\\ \text{kg}\cdot\text{m/s}.
Incerteza mínima do momento: como p=E/c, a incerteza mínima segue \Delta p_{\min}=\Delta E_{\min}/c. Calculamos:
\Delta p_{\min}=\frac{1{,}32\times 10^{-20}}{3{,}00\times 10^{8}}=4{,}39\times 10^{-29}\\ \text{kg}\cdot\text{m/s}.
Comentário: a incerteza relativa \dfrac{\Delta p}{p} é aproximadamente a mesma que \dfrac{\Delta E}{E}, aqui cerca de 0{,}053 (ou 5{,}3\%).

Resposta

a) \nu = 3{,}75\times 10^{14}\\ \text{Hz}\n
b) E_{\text{fóton}} = 2{,}48\times 10^{-19}\\ \text{J}ó ; \Delta E_{\min} = 1{,}32\times 10^{-20}\\ \text{J}\n
c) \Delta \nu_{\min} = 1{,}99\times 10^{13}\\ \text{Hz}\n
d) comprimento do pulso L = 1{,}20\times 10^{-6}\\ \text{m}; equivalente a 1{,}50 comprimentos de onda\n
e) p = 8{,}28\times 10^{-28}\\ \text{kg}\cdot\text{m/s} ; \Delta p_{\min} = 4{,}39\times 10^{-29}\\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

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