20
Justifique que f é diferenciável em todos os pontos de seu domínio, sendo:
f(x, y)= (x^2+y^2) sin 1raizx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente justificar que a função f(x, y) = (x^2+y^2) sin 1raizx^2+y^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0) é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. A função está definida assim:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em , calcular derivadas parciais e analisar a continuidade da função. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso implica que as derivadas parciais existem e são contínuas ali.
Então, para mostrar que é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, precisamos verificar:
  1. Que é diferenciável para .
  2. Que é diferenciável em .
Vamos começar com os pontos onde .

Passo 3

Para , a função é uma composição de funções diferenciáveis:
  • é claramente diferenciável.
  • é diferenciável em todo seu domínio.
  • é diferenciável para .
Como a composição de funções diferenciáveis é diferenciável, concluímos que é diferenciável em todos os pontos onde .

Passo 4

Agora, o desafio é mostrar que lim(x,y) to (0,0) (x^2+y^2) sin 1raizx^2+y^2 também é diferenciável em |f(x, y)| <= x^2 + y^2 .
Primeiro, vamos verificar a continuidade de em . Calculando o limite de quando se aproxima de :
Sabemos que , então:
Como quando , pelo teorema do sanduíche, o limite de é 0. Portanto, é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h = limh to 0 h^2 sin 1|h| - 0h = limh to 0 h sin 1|h| = 0 em fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k = limk to 0 k^2 sin 1|k| - 0k = limk to 0 k sin 1|k| = 0 .
A derivada parcial em relação a é:
Similarmente, a derivada parcial em relação a :
Portanto, as derivadas parciais existem e são iguais a zero em .

Passo 6

Para concluir que lim(h,k) to (0,0) f(h,k) - f(0,0) - fx(0,0) h - fy(0,0) kraizh^2 + k^2 = 0 é diferenciável em lim(h,k) to (0,0) (h^2+k^2) sin 1raizh^2+k^2raizh^2 + k^2 = limr to 0 r sin 1r = 0 , precisamos verificar a seguinte condição:
| (h^2+k^2) sin 1raizh^2+k^2raizh^2 + k^2 | <= r
Substituindo os valores que já sabemos:
Novamente, usamos que , então:
E como , o limite é zero.

Resposta

Assim, mostramos que a função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, incluindo o ponto .

Exercícios relacionados