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Justifique que é diferenciável em todos os pontos de seu domínio, sendo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente justificar que a função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. A função está definida assim:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em , calcular derivadas parciais e analisar a continuidade da função. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso implica que as derivadas parciais existem e são contínuas ali.
Então, para mostrar que é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, precisamos verificar:
Que é diferenciável para .
Que é diferenciável em .
Vamos começar com os pontos onde .
Passo 3
Para , a função é uma composição de funções diferenciáveis:
é claramente diferenciável.
é diferenciável em todo seu domínio.
é diferenciável para .
Como a composição de funções diferenciáveis é diferenciável, concluímos que é diferenciável em todos os pontos onde .
Passo 4
Agora, o desafio é mostrar que também é diferenciável em .
Primeiro, vamos verificar a continuidade de em . Calculando o limite de quando se aproxima de :
Sabemos que , então:
Como quando , pelo teorema do sanduíche, o limite de é 0. Portanto, é contínua em .
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em .
A derivada parcial em relação a é:
Similarmente, a derivada parcial em relação a :
Portanto, as derivadas parciais existem e são iguais a zero em .
Passo 6
Para concluir que é diferenciável em , precisamos verificar a seguinte condição:
Substituindo os valores que já sabemos:
Novamente, usamos que , então:
E como , o limite é zero.
Resposta
Assim, mostramos que a função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, incluindo o ponto .