Calcule.
integral0^2 e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 até 2. Isso está relacionado ao cálculo de integrais na matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de , onde é uma constante, é , onde é a constante de integração. No nosso caso, .

Passo 3

Aplicando essa fórmula, a integral indefinida de integral e^2x dx = 12 e^2x + C é:

Passo 4

Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 2, vamos calcular o valor da antiderivada nos limites de integração e subtrair:
[ 12 e^2x ]0^2 = 12 e^2 cdot 2 - 12 e^2 cdot 0

Passo 5

Agora, vamos simplificar as expressões:
12 e^4 - 12 e^0
Sabemos que 12 e^4 - 12 , então:

Passo 6

Fatorando 12 (e^4 - 1) , temos:

Passo 7

Para obter o valor numérico, calculamos e^4 approx 54.5982 :
12 (54.5982 - 1) = 12 times 53.5982 = 26.7991
Então:

Resposta

O valor da integral é aproximadamente .

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