Calcule.
integral1^2 2(3 x-2)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral definida de no intervalo de 1 a 2. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de substituição para integrais que têm uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos chamar a expressão dentro do parêntese de uma nova variável para facilitar o cálculo. Vamos definir:
u = 3x - 2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3 Rightarrow du = 3,dx em relação a dx = du3 para fazer a substituição completa. Derivando ambos os lados em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos também ajustar os limites de integração para a variável u = 3(1) - 2 = 1 . Quando u = 3(2) - 2 = 4 :
E quando :

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral1^2 2(3x - 2)^3 dx = integral1^4 2u^3 cdot du3 = 23 integral1^4 u^-3 du

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^n du = u^n+1n+1 + C (onde n neq -1) . A integral de integral u^-3 du = u^-2-2 = -12u^2 é:
No nosso caso, , então:

Passo 7

Voltando à nossa integral:
23 [ -12u^2 ]1^4 = -13 [ 1u^2 ]1^4

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração:
-13 ( 14^2 - 11^2 ) = -13 ( 116 - 1 ) = -13 ( -1516 ) = 1548

Resposta

A integral definida é igual a .

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