Calcule.
integral-1^0 x raizx+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de calcular. Vamos deixar x = u - 1 . Dessa forma, a derivada de em relação a é .
Então, podemos reescrever em termos de :

Passo 3

Agora, vamos mudar os limites de integração para a variável u = -1 + 1 = 0 . Quando u = 0 + 1 = 1 :
integral0^1 (u - 1) raizu , du
E quando :
Com isso, a integral original se transforma em:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(u - 1) raizu = u cdot u^1/2 - 1 cdot u^1/2 = u^3/2 - u^1/2
Então, a integral fica:
integral0^1 ( u^3/2 - u^1/2 ) du
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^3/2 , du = 25 u^5/2
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2
Substituindo de volta:
[ 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ]0^1
Calculando nos limites:
( 25 cdot 1^5/2 - 23 cdot 1^3/2 ) - ( 25 cdot 0^5/2 - 23 cdot 0^3/2 ) = 25 - 23 = -415

Resposta

O valor da integral é .

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