Exercício P.1.2.1. Em uma indústria farmacêutica, pretende-se dimensionar uma estufa. Ela terá a forma cúbica de 1 m de lado e será construída de aço (
, com 10 mm de espessura, isolada com lã de vidro (
) e revestida com plástico (
) de 10 mm de espessura. O calor será inteiramente gerado por resistências elétricas de
, pelas quais passará uma corrente de
. Não pode ser permitida uma perda de calor superior a
do calor gerado. Sabendo-se que as temperatura nas faces das paredes, interna e externa, são respectivamente
e
, pede-se :
a) a resistência térmica exigida na parede da estufa;
b) a espessura da lã de vidro.
DADO :
a) a resistência térmica exigida na parede da estufa;
b) a espessura da lã de vidro.
Passo 1
Vou listar aqui exatamente o que o enunciado dá e o que pede — só informações, sem resolver nada ainda.
- Geometria da estufa: cubo de lado
. - Área de cada face:
. - Há 6 faces idênticas.
- Área de cada face:
- Camadas da parede (da face interna para a externa):
- Aço: condutividade térmica
, espessura . - Lã de vidro (isolante): condutividade
, espessura desconhecida (é o que se pede). - Plástico (revestimento externo): condutividade
, espessura .
- Aço: condutividade térmica
- Temperaturas nas faces (fornecidas): temperatura na face interna
e na face externa . - Aquecimento elétrico:
- Resistência elétrica
. - Corrente
. - Potência elétrica gerada:
(valor a calcular). - Conversão de unidades:
.
- Resistência elétrica
- Restrição: a perda de calor não pode exceder
do calor gerado. - O enunciado pede:
a) a resistência térmica exigida na parede da estufa (valor numérico que satisfaça a condição de perda ≤);
b) a espessura da lã de vidronecessária.
Passo 2
Calcular a potência elétrica gerada e o máximo permitido de perda de calor (vou fazer as contas passo a passo).
- Potência elétrica gerada (em watts):
- Converter para
usando :
- Perda máxima permitida (10% de
):
Explicação rápida do conceito que vamos usar a seguir: o calor que sai da estufa por condução através das paredes (supondo as temperaturas nas faces internas/externas dadas) é dado por uma relação do tipo
onde
é a diferença de temperatura entre as faces interna e externa, e
é a resistência térmica total equivalente entre essas faces para toda a estufa. Como existem 6 faces idênticas, é conveniente trabalhar com a resistência térmica por face
: o fluxo por uma face é
e o fluxo total é
Queremos que
. Então podemos achar o valor mínimo de
que satisfaz essa desigualdade.
Passo 3
Determinar a resistência térmica exigida por face
.
- Diferença de temperatura entre faces:
- Condição
usando . Igualando para o caso limite (perda exatamente ):
- Isolando
:
- Calcular numericamente:
No formato unitário (°C por kcal/h) escrevemos
Observação didática: essa resistência térmica é por face (cada face de
). A unidade
é equivalente a
, ou seja, graus por taxa de calor.
Passo 4
Relacionar
com as espessuras e condutividades das camadas para achar a espessura da lã de vidro.
Teoria rápida: para condução unidimensional em camadas planas em série e área
constante, a resistência térmica de cada camada é
onde
é a espessura (m),
é a condutividade (kcal/(h·m·°C)) e
é a área (m^2). A resistência por face é a soma das resistências das três camadas:
Aqui
, então:
- Calcular as resistências conhecidas:
- Logo a parte atribuída à lã de vidro é:
- Substituindo
:
- Então a espessura da lã:
- Converter para milímetros:
Passo 5
Verificação rápida (checando que com essa espessura a perda é o limite permitido):
- Resistência total por face recomputada:
o que retorna o mesmo
calculado no passo anterior.
- Fluxo por face:
- Fluxo total:
exatamente o máximo permitido. Portanto o cálculo está consistente.
Resposta
(a)
(b)