Exercício P.1.2.1. Em uma indústria farmacêutica, pretende-se dimensionar uma estufa. Ela terá a forma cúbica de 1 m de lado e será construída de aço ( \left.\mathrm{k}=40 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), com 10 mm de espessura, isolada com lã de vidro ( \mathrm{k}=0,08 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) e revestida com plástico ( \mathrm{k}=0,2 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 10 mm de espessura. O calor será inteiramente gerado por resistências elétricas de 100 \Omega, pelas quais passará uma corrente de 10 \mathrm{~A}\left(P=R \cdot i^{2}\right). Não pode ser permitida uma perda de calor superior a 10 \% do calor gerado. Sabendo-se que as temperatura nas faces das paredes, interna e externa, são respectivamente 300^{\circ} \mathrm{C} e 20^{\circ} \mathrm{C}, pede-se :
a) a resistência térmica exigida na parede da estufa;
b) a espessura da lã de vidro.
DADO : 1 \mathrm{~W}=0,86 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h}

Passo 1

Vou listar aqui exatamente o que o enunciado dá e o que pede — só informações, sem resolver nada ainda.
  • Geometria da estufa: cubo de lado 1\\ \mathrm{m}.
    • Área de cada face: A=1\\ \mathrm{m}^2.
    • Há 6 faces idênticas.
  • Camadas da parede (da face interna para a externa):
    • Aço: condutividade térmica k_{\text{aço}}=40\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})ç, espessura e_{\text{aço}}=10\\ \mathrm{mm}=0,01\\ \mathrm{m}ç.
    • Lã de vidro (isolante): condutividade k_{\text{lã}}=0,08\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})ã, espessura e_{\text{lã}}ã desconhecida (é o que se pede).
    • Plástico (revestimento externo): condutividade k_{\text{plástico}}=0,2\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})á, espessura e_{\text{plástico}}=10\\ \mathrm{mm}=0,01\\ \mathrm{m}á.
  • Temperaturas nas faces (fornecidas): temperatura na face interna T_i=300\,^{\circ}\mathrm{C} e na face externa T_o=20\,^{\circ}\mathrm{C}.
  • Aquecimento elétrico:
    • Resistência elétrica R=100\\ \Omega.
    • Corrente i=10\\ \mathrm{A}.
    • Potência elétrica gerada: P=R\,i^{2} (valor a calcular).
    • Conversão de unidades: 1\\ \mathrm{W}=0,86\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
  • Restrição: a perda de calor não pode exceder 10\% do calor gerado.
  • O enunciado pede:
    a) a resistência térmica exigida na parede da estufa (valor numérico que satisfaça a condição de perda ≤ 10\%);
    b) a espessura da lã de vidro e_{\text{lã}}ã necessária.

Passo 2

Calcular a potência elétrica gerada e o máximo permitido de perda de calor (vou fazer as contas passo a passo).
  • Potência elétrica gerada (em watts):
P_{\text{W}}=R\,i^{2}=100\cdot(10)^{2}=100\cdot100=10000\\ \mathrm{W}.
  • Converter para \mathrm{kcal}/\mathrm{h} usando 1\\ \mathrm{W}=0,86\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}:
P = P_{\text{W}}\cdot 0,86 = 10000\cdot 0,86 = 8600\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
  • Perda máxima permitida (10% de P):
Q_{\max}=0,1\cdot P = 0,1\cdot 8600 = 860\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
Explicação rápida do conceito que vamos usar a seguir: o calor que sai da estufa por condução através das paredes (supondo as temperaturas nas faces internas/externas dadas) é dado por uma relação do tipo
Q_{\text{total}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{equivalente}}},
onde \Delta T=T_i-T_o é a diferença de temperatura entre as faces interna e externa, e R_{\text{equivalente}} é a resistência térmica total equivalente entre essas faces para toda a estufa. Como existem 6 faces idênticas, é conveniente trabalhar com a resistência térmica por face R_{\text{face}}: o fluxo por uma face é q_{\text{face}}=\dfrac{\Delta T}{R_{\text{face}}} e o fluxo total é
Q_{\text{total}}=6\,q_{\text{face}}=6\,\frac{\Delta T}{R_{\text{face}}}.
Queremos que Q_{\text{total}}\le Q_{\max}. Então podemos achar o valor mínimo de R_{\text{face}} que satisfaz essa desigualdade.

Passo 3

Determinar a resistência térmica exigida por face R_{\text{face}}.
  • Diferença de temperatura entre faces:
\Delta T = T_i-T_o = 300-20 = 280\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • Condição Q_{\text{total}} \le Q_{\max} usando Q_{\text{total}}=6\,\dfrac{\Delta T}{R_{\text{face}}}. Igualando para o caso limite (perda exatamente 10\%):
6\,\frac{\Delta T}{R_{\text{face}}} = Q_{\max}.
  • Isolando R_{\text{face}}:
R_{\text{face}} = 6\,\frac{\Delta T}{Q_{\max}} = 6\cdot\frac{280}{860}.
  • Calcular numericamente:
R_{\text{face}} = \frac{1680}{860} = \frac{84}{43}\approx 1,953488\dots
No formato unitário (°C por kcal/h) escrevemos
R_{\text{face}}\approx 1,9535\\ \,^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}/\mathrm{kcal}.
Observação didática: essa resistência térmica é por face (cada face de 1\\ \mathrm{m}^2). A unidade ^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}/\mathrm{kcal} é equivalente a \,^{\circ}\mathrm{C}/(\mathrm{kcal}/\mathrm{h}), ou seja, graus por taxa de calor.

Passo 4

Relacionar R_{\text{face}} com as espessuras e condutividades das camadas para achar a espessura da lã de vidro.
Teoria rápida: para condução unidimensional em camadas planas em série e área A constante, a resistência térmica de cada camada é
R_i=\frac{e_i}{k_i A},
onde e_i é a espessura (m), k_i é a condutividade (kcal/(h·m·°C)) e A é a área (m^2). A resistência por face é a soma das resistências das três camadas:
R_{\text{face}} = \frac{e_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}A} + \frac{e_{\text{lã}}}{k_{\text{lã}}A} + \frac{e_{\text{plástico}}}{k_{\text{plástico}}A}.ççããáá
Aqui A=1\\ \mathrm{m}^2, então:
R_{\text{face}} = \frac{e_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}} + \frac{e_{\text{lã}}}{k_{\text{lã}}} + \frac{e_{\text{plástico}}}{k_{\text{plástico}}}.ççããáá
  • Calcular as resistências conhecidas:
\frac{e_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}}=\frac{0,01}{40}=0,00025\\ \,^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}/\mathrm{kcal},çç
\frac{e_{\text{plástico}}}{k_{\text{plástico}}}=\frac{0,01}{0,2}=0,05\\ \,^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}/\mathrm{kcal}.áá
  • Logo a parte atribuída à lã de vidro é:
\frac{e_{\text{lã}}}{k_{\text{lã}}} = R_{\text{face}} - 0,00025 - 0,05.ãã
  • Substituindo R_{\text{face}}\approx 1,953488\dots:
\frac{e_{\text{lã}}}{0,08} \approx 1,953488 - 0,05025 = 1,903238.ã
  • Então a espessura da lã:
e_{\text{lã}} \approx 0,08\cdot 1,903238 \approx 0,152259\\ \mathrm{m}.ã
  • Converter para milímetros:
e_{\text{lã}} \approx 0,152259\\ \mathrm{m} = 152,259\\ \mathrm{mm}\approx 152,3\\ \mathrm{mm}.ã

Passo 5

Verificação rápida (checando que com essa espessura a perda é o limite permitido):
  • Resistência total por face recomputada:
R_{\text{face}} = 0,00025 + \frac{0,152259}{0,08} + 0,05 \approx 0,00025 + 1,903238 + 0,05 \approx 1,953488,
o que retorna o mesmo R_{\text{face}} calculado no passo anterior.
  • Fluxo por face:
q_{\text{face}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{face}}}=\frac{280}{1,953488}\approx 143,333\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
  • Fluxo total:
Q_{\text{total}}=6\cdot q_{\text{face}} \approx 6\cdot 143,333 = 860\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h},
exatamente o máximo permitido. Portanto o cálculo está consistente.

Resposta

(a) R_{\text{parede (por face)}}\approx 1,9535\\ \,^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}/\mathrm{kcal}
(b) e_{\text{lã}}\approx 0,1523\\ \mathrm{m}=152,3\\ \mathrm{mm}ã

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