Analise as afirmações abaixo:
I- Para um oscilador Harmônico Simples, o período é proporcional ao quadrado da amplitude.
II- para um Oscilador Harmônico Simples, a frequência não depende da amplitude.
III- Se a força resultante sobre uma partícula em movimento unidimensional é proporcional e oposta ao deslocamento.
A( ) I, II e III estão corretas.
B( ) I, II e III estão incorretas.
C( ) I e II estão corretas e III está errada.
D( ) I e III estão corretas e II está errada.
II- para um Oscilador Harmônico Simples, a frequência não depende da amplitude.
III- Se a força resultante sobre uma partícula em movimento unidimensional é proporcional e oposta ao deslocamento.
B( ) I, II e III estão incorretas.
C( ) I e II estão corretas e III está errada.
D( ) I e III estão corretas e II está errada.
Passo 1
Vamos entender claramente o que cada afirmação diz e o que foi dado no enunciado.
I- Afirma que, para um oscilador harmônico simples, o período é proporcional ao quadrado da amplitude.
II- Afirma que, para um oscilador harmônico simples, a frequência não depende da amplitude.
III- Afirma que a força resultante sobre uma partícula em movimento unidimensional é proporcional e oposta ao deslocamento.
II- Afirma que, para um oscilador harmônico simples, a frequência não depende da amplitude.
III- Afirma que a força resultante sobre uma partícula em movimento unidimensional é proporcional e oposta ao deslocamento.
O objetivo é verificar se cada uma dessas afirmações é verdadeira ou falsa, justificando bem. Nada mais foi pedido além de classificar I, II e III.
Passo 2
O que é um Oscilador Harmônico Simples (OHS)? — aula rápida e prática.
- Dizemos que um sistema tem movimento harmônico simples quando a força restauradora que age sobre a partícula é proporcional ao deslocamento e apontando para o ponto de equilíbrio (ou seja, oposta ao deslocamento). Em fórmula isso é escrito como
onde
é o deslocamento em relação ao equilíbrio, e
é uma constante do sistema (constante elástica, por exemplo).
- A segunda lei de Newton dá
. Substituindo obtemos a equação diferencial do OHS:
- Essa equação é a equação padrão do movimento harmônico simples. Ela tem solução do tipo
onde
é a amplitude,
é a fase inicial e
é a frequência angular. Importante: essa forma já assume solução periódica senoidal.
Passo 3
Como aparece a frequência angular
a partir da equação? — dedução passo a passo.
- Se derivarmos a solução proposta duas vezes, obtemos
. - Substituindo em
temos
- Como queremos uma solução não trivial (
não identicamente zero), precisamos de
- Portanto a frequência angular é
- A frequência (em Hz) é
e o período é .
Passo 4
Expressões finais para período e frequência e o papel da amplitude.
- Com
temos o período
- Observe atentamente: nesta expressão
depende apenas de e . Não aparece a amplitude . Logo o período é independente da amplitude (no modelo ideal de OHS). - Analogamente a frequência
depende apenas de e , não de .
Passo 5
Interpretação das afirmações com base no que demonstramos.
- Sobre a afirmação I: “o período é proporcional ao quadrado da amplitude.”
Pela expressão exata do período do OHS, concluímos que o período não depende da amplitude, portanto a afirmação I é falsa. (Dizer é incorreto para um OHS linear.) - Sobre a afirmação II: “a frequência não depende da amplitude.”
Como vimose , a frequência é independente da amplitude . Logo a afirmação II é verdadeira — para o oscilador harmônico simples linear ideal. - Sobre a afirmação III: “Se a força resultante sobre uma partícula em movimento unidimensional é proporcional e oposta ao deslocamento.”
Essa frase descreve exatamente a condição matemática do OHS:. Essa é a característica definidora do oscilador harmônico simples (força restauradora proporcional ao deslocamento e apontando para o ponto de equilíbrio). Portanto a afirmação III, interpretada como declaração da propriedade, é verdadeira.
Passo 6
Comentários pedagógicos e situações limites (para você na prova).
- Em provas, quando virem “oscilador harmônico simples” sempre pense na equação
. Pergunta direta: aparece em ? Não — isso resolve muitas questões rápido. - Existe um ponto que confunde: sistemas não-lineares (como um pêndulo para grandes amplitudes) têm período que depende da amplitude; para um pêndulo simples a correção ao período pequeno é proporcional a
(amplitude angular ao quadrado). Mas isso não é um “oscilador harmônico simples” perfeito — é uma aproximação; o enunciado aqui fala explicitamente de Oscilador Harmônico Simples, ou seja, do caso linear ideal . - Dica prática: se a afirmação relaciona
com para um OHS, desconfie — na maioria das vezes estará errada.
Resposta
II e III corretas; I incorreta.