Analise as afirmações abaixo:
I- Para um oscilador Harmônico Simples, o período é proporcional ao quadrado da amplitude.
II- para um Oscilador Harmônico Simples, a frequência não depende da amplitude.
III- Se a força resultante sobre uma partícula em movimento unidimensional é proporcional e oposta ao deslocamento.
A( ) I, II e III estão corretas.
B( ) I, II e III estão incorretas.
C( ) I e II estão corretas e III está errada.
D( ) I e III estão corretas e II está errada.

Passo 1

Vamos entender claramente o que cada afirmação diz e o que foi dado no enunciado.
I- Afirma que, para um oscilador harmônico simples, o período é proporcional ao quadrado da amplitude.
II- Afirma que, para um oscilador harmônico simples, a frequência não depende da amplitude.
III- Afirma que a força resultante sobre uma partícula em movimento unidimensional é proporcional e oposta ao deslocamento.
O objetivo é verificar se cada uma dessas afirmações é verdadeira ou falsa, justificando bem. Nada mais foi pedido além de classificar I, II e III.

Passo 2

O que é um Oscilador Harmônico Simples (OHS)? — aula rápida e prática.
  • Dizemos que um sistema tem movimento harmônico simples quando a força restauradora que age sobre a partícula é proporcional ao deslocamento e apontando para o ponto de equilíbrio (ou seja, oposta ao deslocamento). Em fórmula isso é escrito como
F = -k x,
onde \,x é o deslocamento em relação ao equilíbrio, e \,k>0 é uma constante do sistema (constante elástica, por exemplo).
  • A segunda lei de Newton dá \,m\ddot x = F. Substituindo F obtemos a equação diferencial do OHS:
m\ddot x + kx = 0.
  • Essa equação é a equação padrão do movimento harmônico simples. Ela tem solução do tipo
x(t)=A\cos(\omega t + \varphi),
onde A é a amplitude, \varphi é a fase inicial e \omega é a frequência angular. Importante: essa forma já assume solução periódica senoidal.

Passo 3

Como aparece a frequência angular \omega a partir da equação? — dedução passo a passo.
  • Se derivarmos a solução proposta duas vezes, obtemos \ddot x(t) = -\omega^2 A\cos(\omega t+\varphi) = -\omega^2 x(t).
  • Substituindo em m\ddot x + kx = 0 temos
m(-\omega^2 x) + k x = 0 \quad\Rightarrow\quad (-m\omega^2 + k)x = 0.
  • Como queremos uma solução não trivial ( x não identicamente zero), precisamos de
-m\omega^2 + k = 0 \quad\Rightarrow\quad \omega^2 = \frac{k}{m}.
  • Portanto a frequência angular é
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
  • A frequência (em Hz) é f=\dfrac{\omega}{2\pi} e o período é T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2\pi}{\omega}.

Passo 4

Expressões finais para período e frequência e o papel da amplitude.
  • Com \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}} temos o período
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
  • Observe atentamente: nesta expressão \,T depende apenas de m e k. Não aparece a amplitude A. Logo o período é independente da amplitude A (no modelo ideal de OHS).
  • Analogamente a frequência f depende apenas de m e k, não de A.

Passo 5

Interpretação das afirmações com base no que demonstramos.
  • Sobre a afirmação I: “o período é proporcional ao quadrado da amplitude.”
    Pela expressão exata do período do OHS \,T=2\pi\sqrt{m/k}, concluímos que o período não depende da amplitude, portanto a afirmação I é falsa. (Dizer T\propto A^2 é incorreto para um OHS linear.)
  • Sobre a afirmação II: “a frequência não depende da amplitude.”
    Como vimos \,\omega=\sqrt{k/m} e f=\omega/2\pi, a frequência é independente da amplitude A. Logo a afirmação II é verdadeira — para o oscilador harmônico simples linear ideal.
  • Sobre a afirmação III: “Se a força resultante sobre uma partícula em movimento unidimensional é proporcional e oposta ao deslocamento.”
    Essa frase descreve exatamente a condição matemática do OHS: F=-kx. Essa é a característica definidora do oscilador harmônico simples (força restauradora proporcional ao deslocamento e apontando para o ponto de equilíbrio). Portanto a afirmação III, interpretada como declaração da propriedade, é verdadeira.

Passo 6

Comentários pedagógicos e situações limites (para você na prova).
  • Em provas, quando virem “oscilador harmônico simples” sempre pense na equação m\ddot x + kx=0. Pergunta direta: aparece A em T? Não — isso resolve muitas questões rápido.
  • Existe um ponto que confunde: sistemas não-lineares (como um pêndulo para grandes amplitudes) têm período que depende da amplitude; para um pêndulo simples a correção ao período pequeno é proporcional a \theta_0^2 (amplitude angular ao quadrado). Mas isso não é um “oscilador harmônico simples” perfeito — é uma aproximação; o enunciado aqui fala explicitamente de Oscilador Harmônico Simples, ou seja, do caso linear ideal F=-kx.
  • Dica prática: se a afirmação relaciona T com A para um OHS, desconfie — na maioria das vezes estará errada.

Resposta

II e III corretas; I incorreta.

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