Um sistema massa-mola amortecido é submetido a uma força externa periódica de amplitude constante F_{0} e frequência angular \omega. A amplitude de oscilação do sistema é máxima quando \omega é igual à frequência angular de ressonância \omega_{r}, próxima da frequência natural \omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}
O fator de qualidade Q do sistema é dado por: Q=\frac{\omega_{0}}{2 \beta}
Considere quatro sistemas distintos (I, II, III e IV), todos com a mesma massa m e constante elástica k, mas com diferentes coeficientes de amortecimento b:
Sistema Coeficiente de amortecimento b ( \mathrm{N} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{m} )
I 0,1
II 0,5
III 1,0
IV 2,0
Assinale a alternativa correta:
a) O sistema IV apresenta o maior fator de qualidade, pois possui o maior amortecimento.
b) O sistema I apresenta o menor fator de qualidade, pois dissipa mais energia.
c) O sistema II apresenta maior largura de banda na curva de ressonância do que o sistema III.
d) O sistema I apresenta a oscilação mais seletiva e com maior amplitude na ressonância.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha a alternativa correta entre (a), (b), (c) e (d). As informações relevantes fornecidas são: \n
A fórmula do fator de qualidade:
Q=\frac{\omega_{0}}{2\beta}
Foi informado que todos os quatro sistemas (I, II, III, IV) têm a mesma massa m e a mesma constante elástica k. Os coeficientes de amortecimento b foram dados na tabela (estou pegando esses valores da tabela do enunciado):
b_{\text{I}}=0,1,\quad b_{\text{II}}=0,5,\quad b_{\text{III}}=1,0,\quad b_{\text{IV}}=2,0\quad(\text{N}\cdot\text{s}/\text{m})
As alternativas falam em maior/menor fator de qualidade, largura de banda da curva de ressonância, seletividade e amplitude na ressonância. A partir daqui vou relacionar b com Q, amplitude na ressonância e largura de banda, e então avaliar cada alternativa.

Passo 2

Relação entre o coeficiente de amortecimento b e \beta.\n
A equação do movimento do oscilador massa-mola amortecido forçado é
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_{0}\cos(\omega t).
Dividindo por m obtemos
\ddot{x}+\frac{b}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega t).
Comparando com a forma padrão
\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=\dots
vemos que
2\beta=\frac{b}{m}\quad\Rightarrow\quad \beta=\frac{b}{2m}.
Isso é importante: \beta cresce quando b cresce (para m fixo).

Passo 3

Expressar Q em função de b (usando m e \omega_{0} constantes).\n
Partindo de
Q=\frac{\omega_{0}}{2\beta}
e substituindo \beta=\dfrac{b}{2m}, temos
Q=\frac{\omega_{0}}{2\cdot\frac{b}{2m}}=\frac{\omega_{0}}{b/m}=\frac{m\omega_{0}}{b}.
Como m e \omega_{0} são os mesmos para todos os sistemas, concluímos que Q é inversamente proporcional a b:
Q\propto\frac{1}{b}.

Passo 4

Comparação qualitativa dos Q para os quatro sistemas usando os valores de b da tabela.\n
Como Q\propto 1/b, maior b → menor Q; menor b → maior Q. Usando os valores dados:
\frac{1}{b_{\text{I}}}:\frac{1}{b_{\text{II}}}:\frac{1}{b_{\text{III}}}:\frac{1}{b_{\text{IV}}} = \frac{1}{0,1}:\frac{1}{0,5}:\frac{1}{1,0}:\frac{1}{2,0} =10:2:1:0{,}5.
Portanto a ordem dos Q (do maior para o menor) é:
Q_{\text{I}}>Q_{\text{II}}>Q_{\text{III}}>Q_{\text{IV}}.

Passo 5

Amplitude no pico de ressonância — relação com b e com Q.\n
A amplitude de regime estacionário como função de \omega é
A(\omega)=\frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}}}.
Em ressonância (para amortecimento pequeno) a parte (k-m\omega^{2}) é praticamente nula perto de \omega\approx\omega_{0}, então a amplitude máxima aproximada é
A_{\max}\approx\frac{F_{0}}{b\omega_{0}}.
Isso mostra que A_{\max} é inversamente proporcional a b: quanto menor b, maior a amplitude máxima. Substituindo b=\dfrac{m\omega_{0}}{Q} (rearranjando Q=\dfrac{m\omega_{0}}{b}) obtemos outra forma útil:
A_{\max}\approx\frac{F_{0}}{b\omega_{0}}=\frac{F_{0}}{(m\omega_{0}/Q)\omega_{0}}=\frac{F_{0}Q}{m\omega_{0}^{2}}=\frac{F_{0}Q}{k}.
Então A_{\max}\propto Q: maior Q → maior amplitude máxima na ressonância.

Passo 6

Largura de banda e seletividade — relação com Q e b.\n
A largura de banda (definida como largura entre as frequências de meia potência) para um oscilador subamortecido é aproximadamente
\Delta\omega=\frac{\omega_{0}}{Q}.
Usando Q=\dfrac{m\omega_{0}}{b} temos
\Delta\omega=\frac{\omega_{0}}{Q}=\frac{\omega_{0}}{m\omega_{0}/b}=\frac{b}{m}=2\beta.
Logo, maior b → maior \Delta\omega → menor seletividade (curva mais larga). Como b_{\text{II}}=0,5<b_{\text{III}}=1,0, resulta que \Delta\omega_{\text{II}}<\Delta\omega_{\text{III}}. Portanto a afirmação de que “II apresenta maior largura de banda que III” é falsa.

Passo 7

Avaliação de cada alternativa com base nas conclusões anteriores.\n
a) “O sistema IV apresenta o maior fator de qualidade, pois possui o maior amortecimento.” — incorreta. Pelo contrário, maior amortecimento (maior b) dá menor Q. O sistema IV tem o menor Q. \n
b) “O sistema I apresenta o menor fator de qualidade, pois dissipa mais energia.” — incorreta. O sistema I tem o menor amortecimento e, portanto, o maior Q. \n
c) “O sistema II apresenta maior largura de banda na curva de ressonância do que o sistema III.” — incorreta. Como b_{\text{II}}<b_{\text{III}}, a largura de banda de II é menor do que a de III. \n
d) “O sistema I apresenta a oscilação mais seletiva e com maior amplitude na ressonância.” — correta. Sistema I tem o menor b, logo o maior Q, o que implica maior amplitude no pico de ressonância ( A_{\max}\propto Q) e menor largura de banda ( \Delta\omega=\omega_{0}/Q), ou seja, maior seletividade.

Resposta

d) O sistema I apresenta a oscilação mais seletiva e com maior amplitude na ressonância.

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