Um sistema massa-mola amortecido é submetido a uma força externa periódica de amplitude constante
e frequência angular
. A amplitude de oscilação do sistema é máxima quando
é igual à frequência angular de ressonância
, próxima da frequência natural
O fator de qualidade Q do sistema é dado por:
Considere quatro sistemas distintos (I, II, III e IV), todos com a mesma massa m e constante elástica k, mas com diferentes coeficientes de amortecimento b:
Sistema
Coeficiente de amortecimento b (
)
I
0,1
II
0,5
III
1,0
IV
2,0
Assinale a alternativa correta:
a) O sistema IV apresenta o maior fator de qualidade, pois possui o maior amortecimento.
b) O sistema I apresenta o menor fator de qualidade, pois dissipa mais energia.
c) O sistema II apresenta maior largura de banda na curva de ressonância do que o sistema III.
d) O sistema I apresenta a oscilação mais seletiva e com maior amplitude na ressonância.
Considere quatro sistemas distintos (I, II, III e IV), todos com a mesma massa m e constante elástica k, mas com diferentes coeficientes de amortecimento b:
| Sistema | Coeficiente de amortecimento b (
|
| I | 0,1 |
| II | 0,5 |
| III | 1,0 |
| IV | 2,0 |
a) O sistema IV apresenta o maior fator de qualidade, pois possui o maior amortecimento.
b) O sistema I apresenta o menor fator de qualidade, pois dissipa mais energia.
c) O sistema II apresenta maior largura de banda na curva de ressonância do que o sistema III.
d) O sistema I apresenta a oscilação mais seletiva e com maior amplitude na ressonância.
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha a alternativa correta entre (a), (b), (c) e (d). As informações relevantes fornecidas são: \n
A fórmula do fator de qualidade:
A fórmula do fator de qualidade:
Foi informado que todos os quatro sistemas (I, II, III, IV) têm a mesma massa
e a mesma constante elástica
. Os coeficientes de amortecimento
foram dados na tabela (estou pegando esses valores da tabela do enunciado):
As alternativas falam em maior/menor fator de qualidade, largura de banda da curva de ressonância, seletividade e amplitude na ressonância. A partir daqui vou relacionar
com
, amplitude na ressonância e largura de banda, e então avaliar cada alternativa.
Passo 2
Relação entre o coeficiente de amortecimento
e
.\n
A equação do movimento do oscilador massa-mola amortecido forçado é
A equação do movimento do oscilador massa-mola amortecido forçado é
Dividindo por
obtemos
Comparando com a forma padrão
vemos que
Isso é importante:
cresce quando
cresce (para
fixo).
Passo 3
Expressar
em função de
(usando
e
constantes).\n
Partindo de
Partindo de
e substituindo
, temos
Como
e
são os mesmos para todos os sistemas, concluímos que
é inversamente proporcional a
:
Passo 4
Comparação qualitativa dos
para os quatro sistemas usando os valores de
da tabela.\n
Como , maior
→ menor
; menor
→ maior
. Usando os valores dados:
Como
Portanto a ordem dos
(do maior para o menor) é:
Passo 5
Amplitude no pico de ressonância — relação com
e com
.\n
A amplitude de regime estacionário como função de é
A amplitude de regime estacionário como função de
Em ressonância (para amortecimento pequeno) a parte
é praticamente nula perto de
, então a amplitude máxima aproximada é
Isso mostra que
é inversamente proporcional a
: quanto menor
, maior a amplitude máxima. Substituindo
(rearranjando
) obtemos outra forma útil:
Então
: maior
→ maior amplitude máxima na ressonância.
Passo 6
Largura de banda e seletividade — relação com
e
.\n
A largura de banda (definida como largura entre as frequências de meia potência) para um oscilador subamortecido é aproximadamente
A largura de banda (definida como largura entre as frequências de meia potência) para um oscilador subamortecido é aproximadamente
Usando
temos
Logo, maior
→ maior
→ menor seletividade (curva mais larga). Como
, resulta que
. Portanto a afirmação de que “II apresenta maior largura de banda que III” é falsa.
Passo 7
Avaliação de cada alternativa com base nas conclusões anteriores.\n
a) “O sistema IV apresenta o maior fator de qualidade, pois possui o maior amortecimento.” — incorreta. Pelo contrário, maior amortecimento (maior ) dá menor
. O sistema IV tem o menor
. \n
b) “O sistema I apresenta o menor fator de qualidade, pois dissipa mais energia.” — incorreta. O sistema I tem o menor amortecimento e, portanto, o maior . \n
c) “O sistema II apresenta maior largura de banda na curva de ressonância do que o sistema III.” — incorreta. Como , a largura de banda de II é menor do que a de III. \n
d) “O sistema I apresenta a oscilação mais seletiva e com maior amplitude na ressonância.” — correta. Sistema I tem o menor , logo o maior
, o que implica maior amplitude no pico de ressonância (
) e menor largura de banda (
), ou seja, maior seletividade.
a) “O sistema IV apresenta o maior fator de qualidade, pois possui o maior amortecimento.” — incorreta. Pelo contrário, maior amortecimento (maior
b) “O sistema I apresenta o menor fator de qualidade, pois dissipa mais energia.” — incorreta. O sistema I tem o menor amortecimento e, portanto, o maior
c) “O sistema II apresenta maior largura de banda na curva de ressonância do que o sistema III.” — incorreta. Como
d) “O sistema I apresenta a oscilação mais seletiva e com maior amplitude na ressonância.” — correta. Sistema I tem o menor
Resposta
d) O sistema I apresenta a oscilação mais seletiva e com maior amplitude na ressonância.