21 Seja
, onde
é um espaço vetorial de dimensão finita e com produto interno. Suponha que
é positivo e unitário . Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um operador linear P em um espaço interno de dimensão finita, e que P é positivo (logo auto-adjunto e ⟨Px,x⟩ ≥ 0) e unitário (P* = P⁻¹). Vamos usar teoria de autovalores e o Teorema espectral para mostrar que P = I.
Passo 2
Como P é positivo, ele é auto-adjunto e pelo Teorema espectral existe uma base ortonormal de V formada por autovetores {v_i} de P, com autovalores reais λ_i ≥ 0, isto é, P v_i = λ_i v_i.
Passo 3
Como P é unitário, temos P* = P⁻¹. Mas P é auto-adjunto, então P* = P, logo P = P⁻¹ e portanto P² = I. Aplicando P² em cada v_i resulta em λ_i² v_i = v_i, ou seja, λ_i² = 1.
Passo 4
Dos dois fatos λ_i ≥ 0 e λ_i² = 1 segue λ_i = 1 para todo i. Assim P v_i = v_i em toda a base ortonormal, o que implica P = I em V.
Resposta
P = I