Para cada um dos subconjuntos abaixo, determine uma base e a dimensão do subespaço gerado por : ,
Passo 1
A questão pede, dado o conjunto de vetores X = {u₁,…,u₅} em ℝ⁵, escolher uma base B ⊆ X e encontrar dim
S(X). Vamos usar conceitos de independência linear e posto (rank) de matriz.
Passo 2
Reunimos os vetores como colunas de uma matriz 5×5 e aplicamos eliminação de Gauss. Escrevendo
obtém-se, após escalonamento, pivôs em todas as 5 colunas. A forma escalonada reduzida fica, por exemplo: 1 & 0 & 0 & 0 & 4/70 & 1 & 0 & 0 & -10 & 0 & 1 & 0 & -1/70 & 0 & 0 & 1 & 3/70 & 0 & 0 & 0 & 9/7,
onde vemos pivô não nulo em cada coluna.
Passo 3
Como há pivô em todas as 5 colunas, os vetores u₁,…,u₅ são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 5.
Resposta
Uma base possível é B = u1,u2,u3,u4,u5 e dim S(X)=5.