Para cada um dos subconjuntos B subset X abaixo, determine uma base S(X) e a dimensão do subespaço X gerado por E=R^5, n=5, u1=(1,2,0,1,2), u2=(0,0,-1,0,1), u3=(-3,1,0,0,0), u4=(0,0,0,1,-1) :
u5=(1,1,1,1,1),

Passo 1

A questão pede, dado o conjunto de vetores X = {u₁,…,u₅} em ℝ⁵, escolher uma base B ⊆ X e encontrar dim
S(X). Vamos usar conceitos de independência linear e posto (rank) de matriz.

Passo 2

Reunimos os vetores como colunas de uma matriz 5×5 e aplicamos eliminação de Gauss. Escrevendo
M = 1 & 0 & -3 & 0 & 1 2 & 0 & 1 & 0 & 10 & -1 & 0 & 0 & 11 & 0 & 0 & 1 & 12 & 1 & 0 & -1 & 1,
obtém-se, após escalonamento, pivôs em todas as 5 colunas. A forma escalonada reduzida fica, por exemplo:
1 & 0 & 0 & 0 & 4/70 & 1 & 0 & 0 & -10 & 0 & 1 & 0 & -1/70 & 0 & 0 & 1 & 3/70 & 0 & 0 & 0 & 9/7,
onde vemos pivô não nulo em cada coluna.

Passo 3

Como há pivô em todas as 5 colunas, os vetores u₁,…,u₅ são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 5.

Resposta

Uma base possível é B = u1,u2,u3,u4,u5 e dim S(X)=5.

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