(20 Pontos)
b) Use o método de variação de parâmetros para calcular a solução geral da equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para usar o método de variação de parâmetros para encontrar a solução geral da equação:
Então, vamos precisar trabalhar com equações diferenciais de ordem superior e aplicar o método de variação de parâmetros. Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada para depois encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea:
Para resolver isso, vamos achar as raízes da equação característica. Substituímos na equação homogênea:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Testando :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar a equação:
As raízes restantes são as soluções de :
Passo 4
Com as raízes , e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde , e são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação de parâmetros.
O método de variação de parâmetros nos diz que:
Onde , e são as soluções da equação homogênea.
Passo 6
Para encontrar , e , precisamos montar e resolver um sistema de equações baseado nas derivadas de . Porém, para simplificar, vamos usar a fórmula das integrais em variação de parâmetros que envolve o Wronskiano das soluções homogêneas.
Primeiro, construímos a matriz do Wronskiano :
Calculando as derivadas:
y1' = e^t, y1'' = e^t
y2' = -sin t, y2'' = -cos t
y3' = cos t, y3'' = -sin t
Então,
W = e^t & cos t & sin t e^t & -sin t & cos t e^t & -cos t & -sin t
Passo 7
Calculando o determinante do Wronskiano W :
Expandindo a primeira linha:
W = e^t -sin t & cos t -cos t & -sin t - cos t e^t & cos t e^t & -sin t + sin t e^t & -sin t e^t & -cos t
Calculando cada menor:
-sin t & cos t -cos t & -sin t = (-sin t)(-sin t) - (cos t)(-cos t) = sin^2 t + cos^2 t = 1
e^t & cos t e^t & -sin t = e^t (-sin t) - e^t cos t = -e^t (sin t + cos t)
e^t & -sin t e^t & -cos t = e^t (-cos t) - e^t (-sin t) = -e^t cos t + e^t sin t = e^t (sin t - cos t)
Substituindo de volta:
W = e^t (1) - cos t [ -e^t (sin t + cos t) ] + sin t [ e^t (sin t - cos t) ]
W = e^t + e^t cos t (sin t + cos t) + e^t sin t (sin t - cos t)
Simplificando:
W = e^t + e^t (cos t sin t + cos^2 t + sin^2 t - sin t cos t)
W = e^t + e^t (cos^2 t + sin^2 t )
W = e^t + e^t (1) = 2 e^t
Passo 8
Agora, usando o Wronskiano, encontramos as funções u1'(t) , u2'(t) e u3'(t) que são dadas por:
ui'(t) = WiW
Onde Wi é o Wronskiano obtido substituindo a coluna i pela coluna dos termos independentes, que no caso é sec t .
Então:
W1 = 0 & cos t & sin t 0 & -sin t & cos t sec t & -cos t & -sin t = 0
W2 = e^t & 0 & sin t e^t & 0 & cos t e^t & sec t & -sin t = e^t cdot (0 cdot (-sin t) - sec t cdot cos t ) = -e^t sec t cos t = -e^t
W3 = e^t & cos t & 0 e^t & -sin t & 0 e^t & -cos t & sec t = e^t cdot (-sin t cdot sec t - 0 cdot (-cos t)) = -e^t sin t sec t = -e^t
Passo 9
Agora, calculamos u1(t) , u2(t) e u3(t) integrando ui'(t) :
u1(t) = integral 02 e^t dt = 0
u2(t) = integral -e^t2 e^t dt = integral -12 dt = -t2
u3(t) = integral -e^t2 e^t dt = integral -12 dt = -t2
Passo 10
Agora, substituímos u1(t) , u2(t) e u3(t) na expressão da solução particular:
yp(t) = u1(t) y1(t) + u2(t) y2(t) + u3(t) y3(t)
yp(t) = 0 cdot e^t + (-t2) cos t + (-t2) sin t
yp(t) = -t2 (cos t + sin t)
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial original é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 cos t + C3 sin t - t2 (cos t + sin t)
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^t + C2 cos t + C3 sin t - t2 (cos t + sin t)