Seja g: R R a função de período 2 , tal que g(x)=-1 para -1<x <= 0, e g(x)=1 para 0<x <= 1. Determine a série de Fourier de g. Esta série converge para g(x), para todo x in R ?
Sugestão para o item(b): que relação existe entre f e g ?

Passo 1

O problema pede a série de Fourier de período
e pergunta se essa série converge para .
O conteúdo é séries de Fourier em (período ).
Dica: note que é derivada de uma função mais simples, por exemplo
(periódica), então .

Passo 2

Como g(-x)=-g(x), g é ímpar e a série de Fourier só tem termos em seno.
Usamos a fórmula para coeficientes de seno em [-1,1]:
bn=21integral0^1g(x),sin(npi x),dx =2integral0^11cdotsin(npi x),dx =2l[-cos(npi x)npir]0^1 =2npil(1-(-1)^nr)
Quando n é par, (-1)^n=1 bn=0.
Quando n=2k+1 é ímpar, (-1)^n=-1
b2k+1=2(2k+1)pil(1-(-1)r) =4(2k+1)pi

Passo 3

Logo a série de Fourier de g é
g(x) =sumn=1^inftybnsin(npi x) =sumk=0^infty4(2k+1)pi, sinl((2k+1)pi xr)

Passo 4

Pelo teorema de Dirichlet, essa série converge para
;g(x) em todos os pontos de continuidade de g,
isto é, em xneq m, minZ.
Nos pontos de descontinuidade ( x=m), a série converge à média
l(g(m^-)+g(m^+)r)/2=( -1+1)/2=0,
que difere de g(m).

Resposta

g(x) =sumk=0^infty4(2k+1)pi, sinl((2k+1)pi xr)
Essa série converge para g(x) em todo ponto de continuidade de g
(e em x=minZ converge ao valor 0,
a média dos limites laterais, não ao valor da função).

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