Seja
a função de período 2 , tal que
para
, e
para
. Determine a série de Fourier de
. Esta série converge para
, para todo
?
Sugestão para o item(b): que relação existe entre
e
?
Sugestão para o item(b): que relação existe entre
Passo 1
O problema pede a série de Fourier de período
e pergunta se essa série converge para .
O conteúdo é séries de Fourier em
(período
).
Dica: note que é derivada de uma função mais simples, por exemplo
(periódica), então
.
Dica: note que
Passo 2
Como
,
é ímpar e a série de Fourier só tem termos em seno.
Usamos a fórmula para coeficientes de seno em :
Usamos a fórmula para coeficientes de seno em
Quando
é par,
dá
.
Quando é ímpar,
dá
Quando
Passo 3
Logo a série de Fourier de
é
Passo 4
Pelo teorema de Dirichlet, essa série converge para
em todos os pontos de continuidade de
,
isto é, em ,
.
Nos pontos de descontinuidade ( ), a série converge à média
,
que difere de .
isto é, em
Nos pontos de descontinuidade (
que difere de
Resposta
Essa série converge para
em todo ponto de continuidade de
(e em converge ao valor
,
a média dos limites laterais, não ao valor da função).
(e em
a média dos limites laterais, não ao valor da função).