Resolva o problema:
l ux x=ut t, 0<x<1, 0<t u(0, t)=u(1, t)=0, 0 <= t u(x, 0)=sen(2 pi x), 0 <= x <= 1 ut(x, 0)=0, 0 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado descreve a equação da onda unidimensional
ux x=ut t, 0<x<1,;t>0
com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=u(1,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=sin(2pi x), ut(x,0)=0
O método para resolver é separação de variáveis e expansão em série de Fourier nas funções próprias do problema de Sturm–Liouville associado.

Passo 2

Procuramos solução da forma u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo em uxx=utt obtemos
X''(x)X(x)=T''(t)T(t)=-lambda,
onde lambda é constante de separação. Isso gera dois problemas ordinários:
X''+lambda X=0, X(0)=X(1)=0,
T''+lambda T=0

Passo 3

Do problema em X(x) surge o espectro
lambdan=(npi)^2, n=1,2,3,dots,
com autofunções
Xn(x)=sin(npi x)
Para cada n, a equação em T é
Tn''+(npi)^2Tn=0,
cuja solução geral é
Tn(t)=Ancos(npi t)+Bnsin(npi t)

Passo 4

A solução geral da EDP é a série
u(x,t)=sumn=1^inftyl[Ancos(npi t)+Bnsin(npi t)r]sin(npi x)
Impondo u(x,0)=sin(2pi x) obtemos
u(x,0)=sumn=1^infty Ansin(npi x) =sin(2pi x)
Pelos coeficientes de Fourier,
An=2integral0^1sin(2pi x),sin(npi x),dx,
que vale A2=1 e An=0 para nneq2.
A condição ut(x,0)=0 implica
ut(x,0)=sumn=1^infty npi,Bn,sin(npi x)=0 Rightarrow Bn=0;forall n

Passo 5

Assim, apenas o modo n=2 sobrevive e a solução é
u(x,t)=sin(2pi x),cos(2pi t)

Resposta

u(x,t)=sin(2pi x),cos(2pi t)

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