Resolva o problema:
Passo 1
O enunciado descreve a equação da onda unidimensional
com condições de contorno homogêneas
e condições iniciais
O método para resolver é separação de variáveis e expansão em série de Fourier nas funções próprias do problema de Sturm–Liouville associado.
Passo 2
Procuramos solução da forma
u(x,t)=X(x),T(t) . Substituindo em
uxx=utt obtemos
onde
lambda é constante de separação. Isso gera dois problemas ordinários:
Passo 3
Do problema em
X(x) surge o espectro
com autofunções
Para cada
n , a equação em
T é
cuja solução geral é
Passo 4
A solução geral da EDP é a série
Impondo
u(x,0)=sin(2pi x) obtemos
Pelos coeficientes de Fourier,
que vale
A2=1 e
An=0 para
nneq2 .
A condiçãout(x,0)=0 implica
A condição
Passo 5
Assim, apenas o modo
n=2 sobrevive e a solução é