Seja
a função de período 2 , tal que
para
. Determine a série de Fourier de
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
de período
tal que, no intervalo base
, vale
O conteúdo envolvido é Série de Fourier de função periódica, e como
é par só teremos termos em cosseno.
Passo 2
Para uma função de período
(ou seja, com
) a série de Fourier geral é
com
Passo 3
Como
é uma função par, todos os coeficientes
são nulos:
Passo 4
Calculamos o coeficiente médio
:
Logo o termo constante na série é
.
Passo 5
Para
usamos a simetria par e escrevemos
Aplicando integração por partes em
com
, obtemos
Multiplicando por
2 segue
Passo 6
Note que, se
n é par,
(-1)^n=1 e
an=0 . Se
n é ímpar,
(-1)^n=-1 e
Passo 7
Reindexando somente os
n ímpares como
n=2m+1 ,
m=0,1,2,dots , a série de Fourier final é