Seja f: R R a função de período 2 , tal que f(x)=|x| para -1 <= x <= 1. Determine a série de Fourier de f.

Passo 1

O enunciado dá uma função f de período 2 tal que, no intervalo base [-1,1], vale
f(x)=|x|
O conteúdo envolvido é Série de Fourier de função periódica, e como f é par só teremos termos em cosseno.

Passo 2

Para uma função de período 2 (ou seja, com L=1) a série de Fourier geral é
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(npi x)+bnsin(npi x)r),
com
an=integral-1^1f(x)cos(npi x),dx, bn=integral-1^1f(x)sin(npi x),dx

Passo 3

Como f(x)=|x| é uma função par, todos os coeficientes bn são nulos:
bn=0forall n>=1

Passo 4

Calculamos o coeficiente médio a0:
a0=integral-1^1|x|,dx =[x^22]0^1times2 =1
Logo o termo constante na série é tfraca02=tfrac12.

Passo 5

Para n>=1 usamos a simetria par e escrevemos
an =integral-1^1|x|cos(npi x),dx =2integral0^1xcos(npi x),dx
Aplicando integração por partes em integral0^1xcos(npi x),dx com
;u=x,;dv=cos(npi x),dx, obtemos
integral0^1xcos(npi x),dx =xsin(npi x)npi|0^1 -1npiintegral0^1sin(npi x),dx =-1-(-1)^nn^2pi^2
Multiplicando por 2 segue
an=-2l(1-(-1)^nr)n^2pi^2

Passo 6

Note que, se n é par, (-1)^n=1 e an=0. Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e
an=-2(1-(-1))n^2pi^2 =-4n^2pi^2

Passo 7

Reindexando somente os n ímpares como n=2m+1, m=0,1,2,dots, a série de Fourier final é
f(x)=|x| =12 -4pi^2 summ=0^inftycosl((2m+1)pi xr)(2m+1)^2

Resposta

boxedf(x)=12 -4pi^2 summ=0^inftycosl((2m+1)pi xr)(2m+1)^2

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