Verifique que
é solução de:
Passo 1
O enunciado dá a fórmula de d’Alembert
e pede para verificar que ela satisfaz a equação da onda
com condições iniciais
u(x,0)=f(x) e
ut(x,0)=g(x) .
Vamos usar regras de derivação (cadeia e Leibniz) para conferir tudo.
Vamos usar regras de derivação (cadeia e Leibniz) para conferir tudo.
Passo 2
Verificamos
u(x,0)=f(x) .
Emt=0 temos
x - a t=x + a t=x e a integral de
g de
x até
x vale zero. Logo
Em
Passo 3
Verificamos
ut(x,0)=g(x) .
Derivandou em relação a
t e usando cadeia e Leibniz:
Derivando
Isto é
Em
t=0 isso vira
Passo 4
Calculamos
uxx . Primeiro
Derivando de novo em
x :
Passo 5
Calculamos
utt . A partir de
derivamos de novo em
t :
Isto é
Passo 6
Comparamos
Portanto
u satisfaz
a^2uxx=utt .
Resposta
A função dada satisfaz a equação da onda e as condições iniciais.