Verifique que u(x, t)=12[f(x-a t)+f(x+a t)]+12 a integralx-a t^x+a t g(s) d s é solução de:
a^2 ux x=ut t, & -infty<x, t<+infty u(x, 0)=f(x), & -infty<x<+infty ut(x, 0)=g(x), & -infty<x<+infty

Passo 1

O enunciado dá a fórmula de d’Alembert
u(x,t)=12l[f(x - a t)+f(x + a t)r]+12aintegralx - a t^x + a tg(s),ds
e pede para verificar que ela satisfaz a equação da onda
a^2uxx=utt
com condições iniciais
u(x,0)=f(x) e ut(x,0)=g(x).
Vamos usar regras de derivação (cadeia e Leibniz) para conferir tudo.

Passo 2

Verificamos u(x,0)=f(x).
Em t=0 temos x - a t=x + a t=x e a integral de g de x até x vale zero. Logo
u(x,0)=12l[f(x)+f(x)r]+12aintegralx^xg(s),ds =12cdot2f(x)+0=f(x)

Passo 3

Verificamos ut(x,0)=g(x).
Derivando u em relação a t e usando cadeia e Leibniz:
ut=12l[-a,f'(x-at)+a,f'(x+at)r] +12al[g(x+at)cdot a - g(x-at)cdot(-a)r]
Isto é
ut=a2l[f'(x+at)-f'(x-at)r] +12l[g(x+at)+g(x-at)r]
Em t=0 isso vira
ut(x,0)=a2l[f'(x)-f'(x)r]+12l[g(x)+g(x)r] =0+;g(x)=g(x)

Passo 4

Calculamos uxx. Primeiro
ux =12l[f'(x-at)+f'(x+at)r] +12al[g(x+at)-g(x-at)r]
Derivando de novo em x:
uxx =12l[f''(x-at)+f''(x+at)r] +12al[g'(x+at)+g'(x-at)r]

Passo 5

Calculamos utt. A partir de
ut =a2l[f'(x+at)-f'(x-at)r] +12l[g(x+at)+g(x-at)r],
derivamos de novo em t:
utt =a2l[a,f''(x+at)-(-a),f''(x-at)r] +12l[a,g'(x+at)-a,g'(x-at)r]
Isto é
utt =a^22l[f''(x+at)+f''(x-at)r] +a2l[g'(x+at)-g'(x-at)r]

Passo 6

Comparamos
a^2uxx =a^2l[12l(f''(x-at)+f''(x+at)r) +12al(g'(x+at)+g'(x-at)r)r]
=a^22l[f''(x+at)+f''(x-at)r] +a2l[g'(x+at)-g'(x-at)r] =utt
Portanto u satisfaz a^2uxx=utt.

Resposta

A função dada satisfaz a equação da onda e as condições iniciais.

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