(20 pontos) Um balão está subindo numa velocidade constante de
. Um garoto está andando de bicicleta por uma estrada numa velocidade de
. Quando ele passar por baixo do balão, o mesmo estará 15 m acima dele. Quão rápido cresce a distância entre o balão e o garoto 3 segundos mais tarde?
Passo 1
O enunciado diz que um balão sobe verticalmente com velocidade constante de
,m/s e um garoto anda horizontalmente de bicicleta com velocidade constante de
,m/s. No instante em que o garoto passa diretamente abaixo do balão, a altura do balão acima dele é
,m. Precisamos achar a taxa de variação da distância entre o balão e o garoto exatamente
s depois. Para resolver, vamos usar a relação de Pitágoras e derivar em função do tempo (problema de taxas relacionadas).
Passo 2
Definimos as variáveis em função do tempo
(em segundos):
– : distância horizontal entre o garoto e a projeção do balão no chão.
– : distância vertical entre o balão e o garoto.
– : distância direta (reta) entre o balão e o garoto.
Como o garoto se afasta a ,m/s,
–
–
–
Como o garoto se afasta a
Como o balão sobe a
,m/s e partiu a
,m de altura no instante zero,
Passo 3
Pelas coordenadas
e
, a distância
satisfaz Pitágoras:
Derivando ambos os lados em relação a
,
Cancelamos o
e isolamos
:
Passo 4
Sabemos que
,m/s e
,m/s. No instante
,s:
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