(20 pontos) Um balão está subindo numa velocidade constante de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Um garoto está andando de bicicleta por uma estrada numa velocidade de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Quando ele passar por baixo do balão, o mesmo estará 15 m acima dele. Quão rápido cresce a distância entre o balão e o garoto 3 segundos mais tarde?

Passo 1

O enunciado diz que um balão sobe verticalmente com velocidade constante de 2,m/s e um garoto anda horizontalmente de bicicleta com velocidade constante de 5,m/s. No instante em que o garoto passa diretamente abaixo do balão, a altura do balão acima dele é 15,m. Precisamos achar a taxa de variação da distância entre o balão e o garoto exatamente 3 s depois. Para resolver, vamos usar a relação de Pitágoras e derivar em função do tempo (problema de taxas relacionadas).

Passo 2

Definimos as variáveis em função do tempo t (em segundos):
x(t): distância horizontal entre o garoto e a projeção do balão no chão.
y(t): distância vertical entre o balão e o garoto.
s(t): distância direta (reta) entre o balão e o garoto.
Como o garoto se afasta a 5,m/s,
x(t)=5t.
Como o balão sobe a 2,m/s e partiu a 15,m de altura no instante zero,
y(t)=15+2t.

Passo 3

Pelas coordenadas x e y, a distância s satisfaz Pitágoras:
s(t)^2 \;=\; x(t)^2 + y(t)^2.
Derivando ambos os lados em relação a t,
2\,s\,\frac{ds}{dt} = 2\,x\,\frac{dx}{dt} + 2\,y\,\frac{dy}{dt}.
Cancelamos o 2 e isolamos \frac{ds}{dt}:
\frac{ds}{dt} = \frac{x\,\frac{dx}{dt} \;+\; y\,\frac{dy}{dt}}{s}.

Passo 4

Sabemos que \frac{dx}{dt}=5,m/s e \frac{dy}{dt}=2,m/s. No instante t=3,s:
x(3)=5\cdot 3=15,\quad y(3)=15+2\cdot3=21,
s(3)=\sqrt{15^2+21^2}=\sqrt{225+441}=\sqrt{666}.
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\frac{ds}{dt}\Big|_{t=3} = \frac{15\cdot5 + 21\cdot2}{\sqrt{666}} = \frac{75 + 42}{\sqrt{666}} = \frac{117}{\sqrt{666}}\\ \text{m/s}.

Resposta

\frac{ds}{dt}\Big|_{t=3} = \frac{117}{\sqrt{666}}\approx4{,}54\\ \text{m/s}.

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