(20 pontos) Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto
y=(2+x) e^{-x}, \quad(0,2).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva y=(2+x)e^{-x} no ponto (0,2). Para isso, vamos calcular a derivada de y (regra do produto e regra da cadeia) para obter a inclinação da reta e, em seguida, usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Definindo u(x)=2+x e v(x)=e^{-x}, temos u'(x)=1 e v'(x)=-e^{-x}. Pela regra do produto,
y'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =1\cdot e^{-x}+(2+x)(-e^{-x}) =e^{-x}-(2+x)e^{-x} =e^{-x}(1-2-x) =-(1+x)e^{-x}

Passo 3

A inclinação da tangente no ponto x=0 é
y'(0)=-(1+0)e^{0}=-1
Logo, a inclinação da reta tangente é m=-1.

Passo 4

A equação da reta tangente, usando
y - y_0 = m\,(x - x_0)
com (x_0,y_0)=(0,2) e m=-1, fica
y - 2 = -1\,(x - 0) \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 2

Resposta

A equação da reta tangente é \displaystyle y = -x + 2.

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