A) Em qual ponto sobre a curva
a reta tangente é horizontal?.
B) Encontre uma parábola
que passe pelo ponto
e cujas retas tangentes em
e
tenham inclinações
, respectivamente.
B) Encontre uma parábola
Passo 1
O exercício tem duas partes. Na parte A, precisamos achar o ponto em que a reta tangente à curva
é horizontal, isto é, onde a derivada é zero. Na parte B, buscamos uma parábola
que passe por
e cujas tangentes em
e
tenham inclinações
e
, respectivamente. Usaremos derivadas para obter as inclinações e condições de pontos para definir
,
e
.
Passo 2
Para a parte A, aplicamos a regra da cadeia para calcular
em
. Tomando
, temos
e
Pelo produto das derivadas,
Passo 3
A reta tangente é horizontal quando
ou seja
implica
, logo
e
. Substituindo em
:
Portanto o ponto é
.
Passo 4
Para a parte B, consideramos
cuja derivada é
As condições em inclinação dão
A condição de passar por
fornece
Passo 5
Primeiro resolvemos o sistema em
Subtraindo a primeira da segunda:
Em seguida, de (-2a+b=6]:
Passo 6
Finalmente, usamos
:
A parábola procurada é
Resposta
A) O ponto é
.
B) A parábola é
B) A parábola é