A) Em qual ponto sobre a curva y=[\ln (x+4)]^{2} a reta tangente é horizontal?.
B) Encontre uma parábola y=a x^{2}+b x+c que passe pelo ponto (1,4) e cujas retas tangentes em x=-1 e x=5 tenham inclinações 6 \mathrm{e}-2, respectivamente.

Passo 1

O exercício tem duas partes. Na parte A, precisamos achar o ponto em que a reta tangente à curva
y = [\ln(x+4)]^2
é horizontal, isto é, onde a derivada é zero. Na parte B, buscamos uma parábola
y = a x^2 + b x + c
que passe por (1,4) e cujas tangentes em x=-1 e x=5 tenham inclinações 6 e -2, respectivamente. Usaremos derivadas para obter as inclinações e condições de pontos para definir a, b e c.

Passo 2

Para a parte A, aplicamos a regra da cadeia para calcular
\frac{dy}{dx}
em y=[\ln(x+4)]^2. Tomando u=\ln(x+4), temos y=u^2 e
\frac{du}{dx} = \frac{1}{x+4}, \quad \frac{dy}{du} = 2u.
Pelo produto das derivadas,
\frac{dy}{dx} = 2\,\ln(x+4)\,\cdot\frac{1}{x+4} = \frac{2\,\ln(x+4)}{x+4}.

Passo 3

A reta tangente é horizontal quando
\frac{dy}{dx}=0
ou seja
\frac{2\,\ln(x+4)}{x+4}=0
implica \ln(x+4)=0, logo x+4=1 e x=-3. Substituindo em y:
y = [\ln(-3+4)]^2 = [\ln(1)]^2 = 0.
Portanto o ponto é \bigl(-3,0\bigr).

Passo 4

Para a parte B, consideramos
y = a x^2 + b x + c,
cuja derivada é
y' = 2a x + b.
As condições em inclinação dão
y'(-1)=6 \quad\Longrightarrow\quad 2a(-1)+b=6 \quad\Longrightarrow\quad -2a + b = 6,
y'(5)=-2 \quad\Longrightarrow\quad 2a\cdot5 + b = -2 \quad\Longrightarrow\quad 10a + b = -2.
A condição de passar por (1,4) fornece
a\cdot1^2 + b\cdot1 + c = 4 \quad\Longrightarrow\quad a + b + c = 4.

Passo 5

Primeiro resolvemos o sistema em a,b\): \[\begin{cases} -2a + b = 6,\\\\ 10a + b = -2. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda:
(10a+b)-(-2a+b)= -2-6 \quad\Longrightarrow\quad 12a = -8 \quad\Longrightarrow\quad a = -\tfrac{2}{3}.
Em seguida, de (-2a+b=6]:
-2\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) + b = 6 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{4}{3} + b = 6 \quad\Longrightarrow\quad b = 6 - \tfrac{4}{3} = \tfrac{14}{3}.

Passo 6

Finalmente, usamos a + b + c = 4:
-\tfrac{2}{3} + \tfrac{14}{3} + c = 4 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{12}{3} + c = 4 \quad\Longrightarrow\quad 4 + c = 4 \quad\Longrightarrow\quad c = 0.
A parábola procurada é
y = -\tfrac{2}{3}x^2 + \tfrac{14}{3}x.

Resposta

A) O ponto é \bigl(-3,0\bigr).
B) A parábola é
y = -\tfrac{2}{3}x^2 + \tfrac{14}{3}x.

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