Seja \eta=250+\mathrm{j} 30 \Omega e \mathrm{jk}=0,2+\mathrm{j} 2 \mathrm{~m}^{-1} para uma onda plana uniforme que se propaga na direção \mathbf{a}_{z} em um dielétrico que tem alguma condutividade finita. Se \left|E_{\mathrm{s}}\right|=400 \mathrm{~V} / \mathrm{m} em z=0, calcule: (a) \langle\mathbf{S}\rangle em z=0 e z=60 \mathrm{~cm}; (b) A dissipação média de potência ôhmica em watts por metro cúbico em z=60 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda plana que se propaga ao longo de \mathbf{a}_{z} num dielétrico com condutividade finita. Temos impedância de onda complexa
\eta = 250 + \mathrm{j}\,30\\ \Omega
e const​ante de propagação
\gamma = \alpha + \mathrm{j}\,\beta = 0{,}2 + \mathrm{j}\,2\\ \text{m}^{-1}.
A magnitude do campo elétrico na face z=0 é \bigl|E_{\mathrm{s}}\bigr|=400\\ \mathrm{V/m}.
Precisamos calcular:
(a) o vetor de Poynting médio \langle\mathbf{S}\rangle em z=0 e em z=0{,}6\\ \mathrm{m};
(b) a potência dissipada por volume em z=0{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Para uma onda plana que se propaga em +z com E em x e H em y, vale
\mathbf{E}(z)=E_{\mathrm{s}}\,e^{-\gamma z}\,\mathbf{a}_{x}, \quad \mathbf{H}(z)=\frac{E_{\mathrm{s}}}{\eta}\,e^{-\gamma z}\,\mathbf{a}_{y}.
O vetor de Poynting complexo é \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}^* e o valor médio em regime senoidal é
\langle\mathbf{S}\rangle =\frac{1}{2}\Re\{\mathbf{E}\times\mathbf{H}^*\} =\frac{1}{2}\,\Re\!\Bigl\{\frac{|E_{\mathrm{s}}|^2}{\eta^*}\,e^{-2\alpha z}\Bigr\}\,\mathbf{a}_{z}.
Como \displaystyle\frac{1}{\eta^*}=\frac{\eta}{|\eta|^2}, temos
\Re\!\Bigl\{\tfrac{1}{\eta^*}\Bigr\} =\frac{\Re\{\eta\}}{|\eta|^2} =\frac{250}{250^2+30^2}.

Passo 3

Calculamos o denominador
|\eta|^2=250^2+30^2=62\,500+900=63\,400.
Logo
\Re\{\tfrac{1}{\eta^*}\} =\frac{250}{63\,400}\approx0{,}003944.
Também definimos
\frac{|E_{\mathrm{s}}|^2}{2}=\frac{400^2}{2}=\frac{160\,000}{2}=80\,000\\ (\mathrm{V^2/m^2}).

Passo 4

Em z=0 (sem atenuação), o fluxo médio é
\langle S_z(0)\rangle =80\,000\times0{,}003944\approx315{,}5\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 5

Em z=0{,}6\\ \mathrm{m}, a atenuação é e^{-2\alpha z}=e^{-2\cdot0{,}2\cdot0{,}6}=e^{-0{,}24}\approx0{,}7866.
Então
\langle S_z(0{,}6)\rangle =315{,}5\times0{,}7866\approx248{,}3\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 6

A potência dissipada por volume em regime estacionário é dada pela redução do fluxo por metro, ou seja
p(z)=-\frac{d}{dz}\langle S_z(z)\rangle =2\alpha\,\langle S_z(z)\rangle.
Em z=0{,}6\\ \mathrm{m} isso vale
p(0{,}6)=2\cdot0{,}2\cdot248{,}3\approx0{,}4\times248{,}3\approx99{,}3\\ \mathrm{W/m^3}.

Resposta

(a) \langle\mathbf{S}\rangle =315{,}5\\ \mathbf{a}_{z}\\ \mathrm{W/m^2} em z=0,
\langle\mathbf{S}\rangle =248{,}3\\ \mathbf{a}_{z}\\ \mathrm{W/m^2} em z=0{,}6\\ \mathrm{m}.
(b) Potência dissipada: 99{,}3\\ \mathrm{W/m^3} em z=0{,}6\\ \mathrm{m}.

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