(20 pontos) Calcule a derivada das funções abaixo.
f(t)=\frac{t^{4}-1}{t^{4}+1}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(t)=\frac{t^4-1}{t^4+1}.
O conteúdo é cálculo de derivada usando a regra do quociente.

Passo 2

A regra do quociente diz que, para
f(t)=\frac{u(t)}{v(t)},
temos
f'(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^2}.

Passo 3

Identificamos
u(t)=t^4-1 e v(t)=t^4+1.
Calculamos
u'(t)=4t^3 e v'(t)=4t^3.

Passo 4

Substituindo na regra do quociente:
f'(t) =\frac{4t^3\,(t^4+1)-(t^4-1)\,4t^3}{(t^4+1)^2}.

Passo 5

No numerador, fatoramos 4t^3:
4t^3\bigl[(t^4+1)-(t^4-1)\bigr] =4t^3\cdot2 =8t^3.
Logo,
f'(t)=\frac{8t^3}{(t^4+1)^2}.

Resposta

\displaystyle \frac{8t^3}{(t^4+1)^2}

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