(20 pontos) Calcule a derivada das funções abaixo.
y=x^{2} \operatorname{sen} \pi x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = x^{2}\,\operatorname{sen}(\pi x).
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto (para derivar u(x)\,v(x)) e a regra da cadeia (para derivar \operatorname{sen}(\pi x)).

Passo 2

Identificamos as duas funções envolvidas no produto:
u(x) = x^{2} \quad\text{e}\quad v(x) = \operatorname{sen}(\pi x).
Pela regra do produto,
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=x^{2}, temos
u'(x) = 2x.

Passo 4

Agora calculamos v'(x). Como v(x)=\operatorname{sen}(\pi x), aplicamos a regra da cadeia: a derivada de \operatorname{sen}(t) é \cos(t) vezes a derivada de t=\pi x, que é \pi. Logo,
v'(x) = \cos(\pi x)\,\cdot\pi = \pi\,\cos(\pi x).

Passo 5

Substituindo u'(x), v(x), u(x) e v'(x) na fórmula da regra do produto, obtemos
y' = \bigl(2x\bigr)\,\operatorname{sen}(\pi x) \;+\; \bigl(x^{2}\bigr)\,\bigl(\pi\,\cos(\pi x)\bigr).

Resposta

y' = 2x\,\operatorname{sen}(\pi x) + \pi\,x^{2}\cos(\pi x).

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