(20 pontos) Calcule a derivada das funções abaixo.
y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}. O conteúdo é derivação de funções potência, e vamos usar a regra
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Reescrevemos cada termo como potência de x:
\sqrt{x}=x^{\tfrac12}, \qquad \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}=\frac{1}{(x^{4})^{\tfrac13}}=x^{-\tfrac{4}{3}}.
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y=x^{\tfrac12}+x^{-\tfrac{4}{3}}.

Passo 3

Aplicamos a regra da derivada de potência em cada termo:
\frac{d}{dx}x^{\tfrac12}=\tfrac12\,x^{\tfrac12-1}=\tfrac12\,x^{-\tfrac12},
\frac{d}{dx}x^{-\tfrac{4}{3}}=-\tfrac{4}{3}\,x^{-\tfrac{4}{3}-1}=-\tfrac{4}{3}\,x^{-\tfrac{7}{3}}.

Passo 4

Somando as derivadas, obtemos
y'=\tfrac12\,x^{-\tfrac12}-\tfrac{4}{3}\,x^{-\tfrac{7}{3}} =\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{4}{3\,x^{\tfrac{7}{3}}}.

Resposta

y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{4}{3\,x^{\tfrac{7}{3}}}.

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