(20 pontos) Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto x^{2}+4 x y+y^{2}=13, \quad(2,1).
Passo 1
O enunciado nos dá a curva implícita
x^{2}+4xy+y^{2}=13
e pede a equação da reta tangente no ponto (2,1). Para isso, vamos usar derivação implícita para obter \tfrac{dy}{dx} e depois aplicar a fórmula da reta com coeficiente angular m=\tfrac{dy}{dx}\big|_{(2,1)}.
Passo 2
Derivamos ambos os lados em relação a x. Para a expressão 4xy usamos a regra do produto entre 4x e y(x):