(20 pontos) Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto
x^{2}+4 x y+y^{2}=13, \quad(2,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
x^{2}+4xy+y^{2}=13
e pede a equação da reta tangente no ponto (2,1). Para isso, vamos usar derivação implícita para obter \tfrac{dy}{dx} e depois aplicar a fórmula da reta com coeficiente angular m=\tfrac{dy}{dx}\big|_{(2,1)}.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. Para a expressão 4xy usamos a regra do produto entre 4x e y(x):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(4xy\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr) =\frac{d}{dx}(13).
Isto dá
2x + 4\bigl(x\frac{dy}{dx} + y\bigr) + 2y\frac{dy}{dx} = 0.
Agrupando os termos com \frac{dy}{dx}, obtemos
(4x + 2y)\,\frac{dy}{dx} + (2x + 4y) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{2x+4y}{4x+2y}.

Passo 3

Agora avaliamos a derivada no ponto x=2, y=1:
2x+4y = 2\cdot2 + 4\cdot1 = 8, \quad 4x+2y = 4\cdot2 + 2\cdot1 = 10,
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m = \frac{dy}{dx}\Big|_{(2,1)} = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}.

Passo 4

Com o coeficiente angular m=-\tfrac{4}{5} e o ponto (2,1), a equação da reta tangente em forma ponto-reta y-y_{0}=m(x-x_{0}) fica
y - 1 = -\frac{4}{5}\bigl(x - 2\bigr).
Se quiser em forma explícita,
y = -\frac{4}{5}x + \frac{8}{5} + 1 = -\frac{4}{5}x + \frac{13}{5}.

Resposta

A reta tangente é
y - 1 = -\frac{4}{5}(x - 2)
ou, equivalentemente,
y = -\frac{4}{5}x + \frac{13}{5}.

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