(20 pontos) Calcule a derivada das funções abaixo.
y=\ln (x \ln x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \ln\bigl(x\,\ln x\bigr).
O conteúdo envolve propriedades de logaritmo, regra da soma e regra da cadeia.

Passo 2

Usamos a identidade \ln(a b)=\ln a+\ln b. Assim,
y = \ln x + \ln\bigl(\ln x\bigr).

Passo 3

Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac1x.
  • Para \ln(\ln x), aplicamos a regra da cadeia:
\dfrac{d}{dx}\bigl[\ln(\ln x)\bigr] =\frac{1}{\ln x}\,\frac{d}{dx}[\ln x] =\frac{1}{\ln x}\,\frac{1}{x} =\frac{1}{x\,\ln x}.

Passo 4

Somando as derivadas:
y' = \frac{1}{x} + \frac{1}{x\,\ln x} = \frac{\ln x + 1}{x\,\ln x}.

Resposta

y' = \frac{\ln x + 1}{x\,\ln x}.

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