(20 pontos) Calcule a derivada das funções abaixo.
y=\left(x^{5}-3 x^{2}+6\right)^{3}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \bigl(x^{5} - 3x^{2} + 6\bigr)^{3}.
Aqui o conteúdo é a Regra da Cadeia para funções compostas: uma função externa u^{3} aplicada a uma interna u(x)=x^{5}-3x^{2}+6.

Passo 2

Definimos
u(x) = x^{5} - 3x^{2} + 6,
de modo que
y = u^{3}.
Pela Regra da Cadeia,
y' = \frac{d}{du}\bigl(u^{3}\bigr)\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u. Como
u(x) = x^{5} - 3x^{2} + 6,
temos
u'(x) = 5x^{4} - 6x.

Passo 4

Agora aplicamos a Regra da Cadeia:
\frac{d}{du}\bigl(u^{3}\bigr) = 3u^{2},
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y' = 3u^{2}\,\bigl(5x^{4}-6x\bigr).
Substituindo de volta u = x^{5}-3x^{2}+6,
y' = 3\bigl(x^{5}-3x^{2}+6\bigr)^{2}\,\bigl(5x^{4}-6x\bigr).

Resposta

y' = 3\bigl(x^{5}-3x^{2}+6\bigr)^{2}\,(5x^{4}-6x).

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