Calcule as integrais trigonométricas indefinidas mostradas abaixo.
\int \operatorname{sen} 3 x \cos 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida de um produto de funções trigonométricas:
\int \sin(3x)\,\cos(5x)\,dx.
Isso envolve o conteúdo de integrais de produtos de senos e cossenos, e para resolvermos vamos usar a identidade de produto-para-soma.

Passo 2

A identidade de produto-para-soma para \sin A\cos B é
\sin A\cos B = \tfrac12\bigl[\sin(A+B) + \sin(A - B)\bigr].
Com isso, transformamos o produto em soma de senos, que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando a identidade com A=3x e B=5x, obtemos
\sin(3x)\cos(5x) = \tfrac12\bigl[\sin(3x+5x) + \sin(3x-5x)\bigr] = \tfrac12\bigl[\sin(8x) + \sin(-2x)\bigr].
Como \sin(-2x) = -\sin(2x), isso vira
\sin(3x)\cos(5x) = \tfrac12\bigl[\sin(8x) - \sin(2x)\bigr].
Logo,
\int \sin(3x)\cos(5x)\,dx = \tfrac12\int \sin(8x)\,dx - \tfrac12\int \sin(2x)\,dx.

Passo 4

Agora integramos cada termo separadamente:
\int \sin(8x)\,dx = -\tfrac1{8}\cos(8x), \qquad \int \sin(2x)\,dx = -\tfrac1{2}\cos(2x).
Substituindo de volta,
\int \sin(3x)\cos(5x)\,dx = \tfrac12\bigl(-\tfrac1{8}\cos(8x)\bigr) - \tfrac12\bigl(-\tfrac1{2}\cos(2x)\bigr).

Passo 5

Simplificando os coeficientes:
\tfrac12\Bigl(-\tfrac1{8}\cos(8x)\Bigr) = -\tfrac1{16}\cos(8x), \quad -\tfrac12\Bigl(-\tfrac1{2}\cos(2x)\Bigr) = +\tfrac1{4}\cos(2x).
Portanto a integral fica
\int \sin(3x)\cos(5x)\,dx = -\tfrac1{16}\cos(8x) + \tfrac1{4}\cos(2x) + C.

Resposta

\int \sin(3x)\cos(5x)\,dx = -\tfrac1{16}\cos(8x) + \tfrac1{4}\cos(2x) + C.

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