(20 pontos) O volume de um cubo cresce a uma taxa de 10 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{min}. Com que rapidez estará crescendo su área quando o comprimento de uma das arestas for 30 cm ?
Resolução

Passo 1

O enunciado diz que o volume de um cubo cresce a uma taxa de 10 \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{min} e pede a rapidez com que cresce a sua área total quando a aresta mede 30 \mathrm{cm}. O conteúdo é de taxas relacionadas: vamos usar as fórmulas do volume e da área do cubo e aplicar derivadas em relação ao tempo.

Passo 2

Escrevemos as expressões dependentes da aresta s: o volume é
V = s^{3}
e a área total é
A = 6\,s^{2}.
Queremos relacionar \frac{dV}{dt} com \frac{ds}{dt} e depois achar \frac{dA}{dt}.

Passo 3

Derivando V = s^{3} em relação ao tempo t, obtemos
\frac{dV}{dt} = 3\,s^{2}\,\frac{ds}{dt}.
Como \frac{dV}{dt}=10, resolvemos para \frac{ds}{dt}:
\frac{ds}{dt} =\frac{\frac{dV}{dt}}{3\,s^{2}} =\frac{10}{3\,s^{2}}.

Passo 4

Agora derivamos A = 6\,s^{2} em relação a t:
\frac{dA}{dt} =12\,s\,\frac{ds}{dt}.
Substituindo \frac{ds}{dt}=\frac{10}{3\,s^{2}}, vem
\frac{dA}{dt} =12\,s\cdot\frac{10}{3\,s^{2}} =\frac{120\,s}{3\,s^{2}} =\frac{40}{s}.

Passo 5

Avaliaremos em s=30 \mathrm{cm}:
\frac{dA}{dt}=\frac{40}{30}=\frac{4}{3}\quad(\mathrm{cm}^{2}/\mathrm{min}).

Resposta

A área do cubo está crescendo a \tfrac{4}{3}\,\mathrm{cm}^{2}/\mathrm{min} quando a aresta mede 30 \mathrm{cm}.

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