(a) ( 15 pontos) Determine bases para o espaço linha e para o espaço coluna de A e suas dimensões.
(b) ( 10 pontos) Determine uma base para o espaço nulo de A e sua dimensão.
(a) bases para o espaço linha de A e para o espaço coluna de A, e as respectivas dimensões;
(b) uma base para o espaço nulo (nullspace) de A e sua dimensão.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz A tem 4 linhas e 5 colunas.
Todas as entradas da matriz estão explícitas acima.
Passo 2
Comentário rápido sobre o plano de ação (só para orientar): para obter uma base do espaço linha é conveniente fazer eliminação por linhas (operações elementares) até obter linhas não nulas que formem uma base; para o espaço coluna usamos as colunas pivô da matriz original; para o espaço nulo resolvemos A\mathbf{x}=\mathbf{0} a partir da forma escalonada reduzida. Agora vamos executar a eliminação passo a passo.
Começo com as linhas iniciais (denotando-as por R_1,R_2,R_3,R_4):
Os pivôs aparecem nas colunas 1,2,4. Isso mostra que o posto (rank) da matriz é 3 (há 3 pivôs), e as colunas 3 e 5 são variáveis livres quando resolver A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Passo 7
Base para o espaço linha e sua dimensão.
Observação importante: operações elementares por linhas não mudam o espaço gerado pelas linhas. Portanto as linhas não-nulas da forma escalonada reduzida formam uma base do espaço linha de A.
Regra prática (e justificada): as colunas pivô da matriz original A formam uma base para o espaço coluna de A. Aqui os pivôs estão nas colunas 1,2,4. Então escolhemos as colunas 1,2,4 da matriz original A.
e a dimensão do espaço nulo (nullidade) é \;2 (duas variáveis livres). Isso também confere com a relação posto + nullidade = número de colunas, isto é 3 + 2 = 5.]
Resposta
(a) Base do espaço linha: \{(1,0,2,0,-1),\\ (0,1,3,0,-3),\\ (0,0,0,1,3)\}.
Dimensão do espaço linha: 3.
(a) Base do espaço coluna: \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
Dimensão do espaço coluna: 3.
(b) Base do espaço nulo: \left\{\begin{pmatrix}-2\\\ -3\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 0\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
Dimensão do espaço nulo: 2.