Seja
A=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & -1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 4 & 2 & 4 \\\\ 0 & 2 & 6 & 1 & -3 \end{array}\right]
(a) ( 15 pontos) Determine bases para o espaço linha e para o espaço coluna de A e suas dimensões.
(b) ( 10 pontos) Determine uma base para o espaço nulo de A e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 4 & 2 & 4 \\\\ 0 & 2 & 6 & 1 & -3 \end{pmatrix}
e pede:
  • (a) bases para o espaço linha de A e para o espaço coluna de A, e as respectivas dimensões;
  • (b) uma base para o espaço nulo (nullspace) de A e sua dimensão.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A tem 4 linhas e 5 colunas.
  • Todas as entradas da matriz estão explícitas acima.

Passo 2

Comentário rápido sobre o plano de ação (só para orientar): para obter uma base do espaço linha é conveniente fazer eliminação por linhas (operações elementares) até obter linhas não nulas que formem uma base; para o espaço coluna usamos as colunas pivô da matriz original; para o espaço nulo resolvemos A\mathbf{x}=\mathbf{0} a partir da forma escalonada reduzida. Agora vamos executar a eliminação passo a passo.
Começo com as linhas iniciais (denotando-as por R_1,R_2,R_3,R_4):
R_1=(1,\,-1,\,-1,\,0,\,2),\quad R_2=(0,\,1,\,3,\,1,\,0), R_3=(2,\,0,\,4,\,2,\,4),\quad R_4=(0,\,2,\,6,\,1,\,-3).

Passo 3

Eliminar a entrada 2 em R_3 na coluna 1 usando R_1. Faço R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1. Cálculo componente a componente:
R_3 = (2,0,4,2,4) - 2(1,-1,-1,0,2) = (0,2,6,2,0).
Agora as linhas são
R_1=(1,-1,-1,0,2),\quad R_2=(0,1,3,1,0),
R_3=(0,2,6,2,0),\quad R_4=(0,2,6,1,-3).

Passo 4

Usar R_2 (que já tem 1 como pivô na coluna 2) para zerar as outras entradas na coluna 2.
  • Para zerar a entrada -1 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 + R_2. R_1 = (1,-1,-1,0,2) + (0,1,3,1,0) = (1,0,2,1,2).
  • Para zerar a entrada 2 em R_3: R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2. R_3 = (0,2,6,2,0) - 2(0,1,3,1,0) = (0,0,0,0,0).
  • Para zerar a entrada 2 em R_4: R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2. R_4 = (0,2,6,1,-3) - 2(0,1,3,1,0) = (0,0,0,-1,-3).
Após essas operações temos
R_1=(1,0,2,1,2),\quad R_2=(0,1,3,1,0),\quad R_3=(0,0,0,0,0),\quad R_4=(0,0,0,-1,-3).

Passo 5

Colocar o pivô não-nulo de R_4 acima de R_3 trocando R_3 e R_4. Após trocar:
R_1=(1,0,2,1,2),\quad R_2=(0,1,3,1,0),\quad R_3=(0,0,0,-1,-3),\quad R_4=(0,0,0,0,0).
Multiplico R_3 por -1 para obter pivô igual a 1: R_3\leftarrow -R_3,
R_3=(0,0,0,1,3).

Passo 6

Zerar as entradas acima do pivô em R_3 (coluna 4):
  • R_1 tem 1 em coluna 4, faço R_1\leftarrow R_1 - R_3: R_1 = (1,0,2,1,2) - (0,0,0,1,3) = (1,0,2,0,-1).
  • R_2 tem 1 em coluna 4, faço R_2\leftarrow R_2 - R_3: R_2 = (0,1,3,1,0) - (0,0,0,1,3) = (0,1,3,0,-3).
Agora a matriz está em forma escalonada reduzida (cada pivô é 1 e tem zeros nas suas colunas fora do pivô):
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 0 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Os pivôs aparecem nas colunas 1,2,4. Isso mostra que o posto (rank) da matriz é 3 (há 3 pivôs), e as colunas 3 e 5 são variáveis livres quando resolver A\mathbf{x}=\mathbf{0}.

Passo 7

Base para o espaço linha e sua dimensão.
  • Observação importante: operações elementares por linhas não mudam o espaço gerado pelas linhas. Portanto as linhas não-nulas da forma escalonada reduzida formam uma base do espaço linha de A.
As linhas não-nulas da forma reduzida são
r_1=(1,0,2,0,-1),\quad r_2=(0,1,3,0,-3),\quad r_3=(0,0,0,1,3).
Essas três linhas são linearmente independentes e geram o espaço linha. Assim uma base para o espaço linha é
\big\{(1,0,2,0,-1),\; (0,1,3,0,-3),\; (0,0,0,1,3)\big\},
e a dimensão do espaço linha é \;3.

Passo 8

Base para o espaço coluna e sua dimensão.
  • Regra prática (e justificada): as colunas pivô da matriz original A formam uma base para o espaço coluna de A. Aqui os pivôs estão nas colunas 1,2,4. Então escolhemos as colunas 1,2,4 da matriz original A.
Extraio-as da matriz original A:
\mathbf{c}_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},\quad \mathbf{c}_2=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix},\quad \mathbf{c}_4=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.
Essas três colunas são linearmente independentes e geram o espaço coluna. Assim uma base para o espaço coluna é
\Big\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}\Big\},
e a dimensão do espaço coluna é \;3.

Passo 9

Resolver [A\mathbf{x}=\mathbf{0}) para obter o espaço nulo.
Da forma reduzida temos as equações (escrevendo \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T):
\begin{cases} x_1 + 2x_3 - x_5 = 0,\\[4pt] x_2 + 3x_3 - 3x_5 = 0,\\[4pt] x_4 + 3x_5 = 0. \end{cases}
As variáveis livres são x_3\] e \(x_5. Ponho x_3 = s e x_5 = t, com s,t\in\mathbb{R}. Resolvo as variáveis dependentes em função de s,t:
x_1 = -2s + t,\quad x_2 = -3s + 3t,\quad x_4 = -3t.
Logo
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\x_5\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-2\\\ -3\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} \;+\; t\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 0\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix}.
Portanto uma base para o espaço nulo é formada pelos vetores
\begin{pmatrix}-2\\\ -3\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 0\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix},
e a dimensão do espaço nulo (nullidade) é \;2 (duas variáveis livres). Isso também confere com a relação posto + nullidade = número de colunas, isto é 3 + 2 = 5.]

Resposta

(a) Base do espaço linha:
\{(1,0,2,0,-1),\\ (0,1,3,0,-3),\\ (0,0,0,1,3)\}.
Dimensão do espaço linha: 3.
(a) Base do espaço coluna:
\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
Dimensão do espaço coluna: 3.
(b) Base do espaço nulo:
\left\{\begin{pmatrix}-2\\\ -3\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 0\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
Dimensão do espaço nulo: 2.

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