(20 pontos) Calcule a distância entre o ponto Q=(2,-1,0) e a reta r dada por:
r:\left\{\begin{array}{l} x=1+t \\\ y=1-t, \quad t \in \mathbb{R} \\\ z=2 t \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto Q=(2,-1,0)\) e a reta \(r\) dada parametricamente por \[r:\begin{cases} x=1+t\\[4pt] y=1-t\\[4pt] z=2t \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}.
Informações relevantes que temos:
  • Um ponto exterior à reta: Q=(2,-1,0)\]. - A reta \(r passa, por exemplo, pelo ponto P_0 correspondente a t=0, que é P_0=(1,1,0) (peguei este ponto da equação da reta).
    - O vetor diretor da reta é \vec{v}=(1,-1,2) (extraído dos coeficientes de t nas equações paramétricas).
A pergunta clara: calcular a distância (menor distância euclidiana) de Q até a reta r.]

Passo 2

Escolha do método (por que este método):
  • Existem várias formas de calcular distância ponto–reta em \mathbb{R}^3. Uma forma direta e bem prática é usar o produto vetorial: a distância é o comprimento da componente de \overrightarrow{P_0Q} perpendicular à reta.
  • Fórmula vetorial usada: se \vec{v} é o vetor diretor da reta e \overrightarrow{P_0Q} é o vetor do ponto P_0 (na reta) até Q, então a distância d é
d=\frac{\|\overrightarrow{P_0Q}\times\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}.
Vou usar essa fórmula porque é direta, baseada em geometria vetorial, e exige só produtos e norma de vetores — é apropriada para prova sem muita complicação.

Passo 3

Construir os vetores necessários e explicar cada símbolo:
  • Escolhi P_0=(1,1,0) (ponto na reta quando t=0).
  • Defino \overrightarrow{P_0Q}=Q-P_0. Isso significa subtrair coordenada a coordenada:
\overrightarrow{P_0Q}=(2-1,\;-1-1,\;0-0)=(1,-2,0).
  • O vetor diretor da reta, como já disse, é
\vec{v}=(1,-1,2).
Aqui \|\cdot\| denota a norma euclidiana de um vetor e \times denota o produto vetorial em \mathbb{R}^3.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{P_0Q}\times\vec{v} passo a passo:
Se \overrightarrow{P_0Q}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{v}=(b_1,b_2,b_3), então
\overrightarrow{P_0Q}\times\vec{v}=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1).
Substituindo a_1=1,a_2=-2,a_3=0 e b_1=1,b_2=-1,b_3=2:
\overrightarrow{P_0Q}\times\vec{v}=((-2)\cdot 2-0\cdot(-1),\;0\cdot1-1\cdot2,\;1\cdot(-1)-(-2)\cdot1).
Calcule cada componente:
\overrightarrow{P_0Q}\times\vec{v}=(-4,\;-2,\;1).

Passo 5

Calcular as normas necessárias:
  • Norma do produto vetorial:
\|\overrightarrow{P_0Q}\times\vec{v}\|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}.
  • Norma do vetor diretor:
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.

Passo 6

Aplicar a fórmula da distância e simplificar:
d=\frac{\|\overrightarrow{P_0Q}\times\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{21}{6}}=\sqrt{\frac{7}{2}}.
Uma forma equivalente mais “racionalizada” é
d=\frac{\sqrt{14}}{2},
pois \sqrt{\tfrac{7}{2}}=\tfrac{\sqrt{14}}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{14}}{2}

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