(20 pontos) Calcule a distância entre o ponto Q=(2,-1,0) e a reta r dada por:
r:\left\{\begin{array}{l} x=1+t \\\ y=1-t, \quad t \in \mathbb{R} \\\ z=2 t \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede a distância entre o ponto Q=(2,-1,0)\) e a reta \(r\) dada parametricamente por
\[r:\begin{cases} x=1+t\\[4pt] y=1-t\\[4pt] z=2t \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}.
Informações relevantes que temos:
Um ponto exterior à reta: Q=(2,-1,0)\].
- A reta \(r passa, por exemplo, pelo ponto P_0 correspondente a t=0, que é P_0=(1,1,0) (peguei este ponto da equação da reta).
- O vetor diretor da reta é \vec{v}=(1,-1,2) (extraído dos coeficientes de t nas equações paramétricas).
A pergunta clara: calcular a distância (menor distância euclidiana) de Q até a reta r.]
Passo 2
Escolha do método (por que este método):
Existem várias formas de calcular distância ponto–reta em \mathbb{R}^3. Uma forma direta e bem prática é usar o produto vetorial: a distância é o comprimento da componente de \overrightarrow{P_0Q} perpendicular à reta.
Fórmula vetorial usada: se \vec{v} é o vetor diretor da reta e \overrightarrow{P_0Q} é o vetor do ponto P_0 (na reta) até Q, então a distância d é
Vou usar essa fórmula porque é direta, baseada em geometria vetorial, e exige só produtos e norma de vetores — é apropriada para prova sem muita complicação.
Passo 3
Construir os vetores necessários e explicar cada símbolo:
Escolhi P_0=(1,1,0) (ponto na reta quando t=0).
Defino \overrightarrow{P_0Q}=Q-P_0. Isso significa subtrair coordenada a coordenada: