Suponha que uma carga elétrica esteja centrada na origem. Pela Lei de Coulomb, o campo elétrico é da forma
\vec{E}(x, y, z)=\frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}(x \overrightarrow{\mathbf{i}}+y \overrightarrow{\mathbf{j}}+z \overrightarrow{\mathbf{k}}),
exceto por um múltiplo constante.
(a) ( 10 pontos) Encontre a área da superfície S_{1} formada pela parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que está dentro do paraboloide z=x^{2}+y^{2}+2.
(b) (5 pontos) Calcule o divergente do campo \vec{E}.
(c) ( 15 pontos) Calcule o fluxo de \vec{E} através da superfície S_{2} formada pela parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2}+2 que está dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e orientada com normal para fora do paraboloide. Dica: Teorema da Divergência.

Passo 1

O enunciado dá o campo
\vec{E}(x,y,z)=\frac{1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}\,(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k})
e pede:
(a) a área da parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que fica dentro do paraboloide z=x^{2}+y^{2}+2,
(b) o divergente de \vec{E},
(c) o fluxo de \vec{E} pela parte do paraboloide dentro da esfera, usando o Teorema da Divergência.

Passo 2

Para achar a região comum, resolvemos simultaneamente
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, \quad z=x^{2}+y^{2}+2.
Substituindo z, definimos r^{2}=x^{2}+y^{2} e temos
r^{2} + (r^{2}+2)^{2}=4 \;\Longrightarrow\; r^{4} +5r^{2}+4=4 \;\Longrightarrow\; r^{2}(r^{2}+5)=0 \;\Longrightarrow\; r=0.
Logo o único ponto de interseção é (0,0,2); não há região de área positiva.

Passo 3

Como a “parte da esfera” que fica abaixo do paraboloide reduz-se a um ponto, a área dessa superfície é zero.

Passo 4

Para (x,y,z)\neq(0,0,0), usamos
\div \vec{E} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{r^{3}}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{r^{3}}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{z}{r^{3}}\Bigr),
com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Cada termo dá contribuição que se cancela, resultando em
\div \vec{E}=0 \quad\text{para}\;(x,y,z)\neq(0,0,0).

Passo 5

Considere a região volumétrica encerrada pela parte da esfera ( S_{1}) e pela parte do paraboloide ( S_{2}). Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S_{1}}\vec{E}\cdot d\vec{S}+\iint_{S_{2}}\vec{E}\cdot d\vec{S} =\iiint_{\text{volume}}\div\vec{E}\,dV =0.
Mas \iint_{S_{1}}\vec{E}\cdot d\vec{S}=0 porque S_{1} tem área zero. Logo
\iint_{S_{2}}\vec{E}\cdot d\vec{S}=0.

Resposta

(a) 0
(b) \div \vec{E}=0 para (x,y,z)\neq(0,0,0)
(c) 0

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