Suponha que uma carga elétrica esteja centrada na origem. Pela Lei de Coulomb, o campo elétrico é da forma
exceto por um múltiplo constante.
(a) ( 10 pontos) Encontre a área da superfície
formada pela parte da esfera
que está dentro do paraboloide
.
(b) (5 pontos) Calcule o divergente do campo
.
(c) ( 15 pontos) Calcule o fluxo de
através da superfície
formada pela parte do paraboloide
que está dentro da esfera
e orientada com normal para fora do paraboloide. Dica: Teorema da Divergência.
(a) ( 10 pontos) Encontre a área da superfície
(b) (5 pontos) Calcule o divergente do campo
(c) ( 15 pontos) Calcule o fluxo de
Passo 1
O enunciado dá o campo
e pede:
(a) a área da parte da esfera que fica dentro do paraboloide
,
(b) o divergente de ,
(c) o fluxo de pela parte do paraboloide dentro da esfera, usando o Teorema da Divergência.
(a) a área da parte da esfera
(b) o divergente de
(c) o fluxo de
Passo 2
Para achar a região comum, resolvemos simultaneamente
Substituindo
, definimos
e temos
Logo o único ponto de interseção é
; não há região de área positiva.
Passo 3
Como a “parte da esfera” que fica abaixo do paraboloide reduz-se a um ponto, a área dessa superfície é zero.
Passo 4
Para
, usamos
com
. Cada termo dá contribuição que se cancela, resultando em
Passo 5
Considere a região volumétrica encerrada pela parte da esfera (
) e pela parte do paraboloide (
). Pelo Teorema da Divergência,
Mas
porque
tem área zero. Logo
Resposta
(a)
(b) para
(c)
(b)
(c)