No espaço, considere o eixo
como sendo um fio infinito com uma corrente contínua fluindo para a direita. A Lei de Biot-Savart nos diz que tal corrente produz um campo magnético da forma
exceto por um múltiplo constante.
(a) (10 pontos) Seja
a circunferência obtida como interseção do plano
e do cilindro
16, orientada no sentido anti-horário do plano
. Calcule
.
(b) (5 pontos) Verifique que
é paralelo a
em todo ponto.
(c) (5 pontos) Verifique que o normal unitário do cilindro
em todo ponto é ortogonal a
.
(d) ( 10 pontos) Considere
a curva fechada obtida como interseção do paraboloide
e do cilindro
. Calcule
para alguma orientação de
utilizando o Teorema de Stokes.
(a) (10 pontos) Seja
(b) (5 pontos) Verifique que
(c) (5 pontos) Verifique que o normal unitário do cilindro
(d) ( 10 pontos) Considere
Passo 1
O enunciado descreve o campo magnético gerado por um fio infinito ao longo do eixo
, dado (até constante) por
Queremos calcular as circulações
em duas curvas
e
, além de verificar que
- o rotacional
é paralelo a , - o vetor normal ao cilindro
é ortogonal a ,
e por fim usar o Teorema de Stokes para relacionar as integrais de linha eme .
Passo 2
Para (a), parametrize
Então
e
O produto (\vec{B}\cdot\vec{r},’] vale
Logo
Logo
Passo 3
Para (b), calculemos
. Escrevendo
com
temos
Portanto
só tem componente na direção
, ou seja, é paralelo a
.
Passo 4
Para (c), o vetor normal unitário ao cilindro
num ponto
é
Como a componente em
de
é zero, segue que
é ortogonal a
.
Passo 5
Para (d), escolhemos como superfície
o trecho lateral do cilindro
limitado por
(em
) e
(em
). Pelo Teorema de Stokes
Mas em
temos
e
, logo
e a integral dupla é zero. Assim
Resposta
(a)
(b) , só componente em
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)