Exercício 5. Expresse o número decimal como uma razão entre inteiros.
0 . \overline{2}=0.22222222 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para transformar a dízima periódica simples 0.\overline{2} em uma fração \tfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}. Para isso, vamos usar o método clássico de atribuir um valor x à dízima, multiplicar por uma potência de 10 que “alinhe” as repetições e subtrair as equações resultantes, eliminando a parte periódica.

Passo 2

Vamos chamar
x = 0.\overline{2}.
Como o período tem um dígito, multiplicamos ambos os lados por 10:
10x = 2.\overline{2}.
Agora subtraímos a primeira equação da segunda, para cancelar a parte periódica:
10x - x = 2.\overline{2} - 0.\overline{2}
9x = 2.
Logo
x = \frac{2}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{9}

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