Determine em cada item para quais valores de t in R a curva é contínua:
r(t)=(t+1, t^2-2 t, t^3+3 t+1)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma curva definida por três funções em termos de t :
r(t) = ( t + 1,; t^2 - 2t,; t^3 + 3t + 1 )
A questão quer saber para quais valores de t essa curva é contínua. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que significa uma função ser contínua e como isso se aplica às funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” naquele ponto. Basicamente, você pode desenhar o gráfico da função sem levantar o lápis do papel.

Passo 3

Agora, olhemos para as funções que compõem a curva r(t) :
  1. x(t) = t + 1
  2. y(t) = t^2 - 2t
  3. z(t) = t^3 + 3t + 1
Todas essas funções são polinomiais. E uma coisa importante sobre polinômios é que eles são contínuos para todo valor real de t . Isso significa que não tem pontas ou quebras no gráfico dessas funções em nenhum ponto de t .

Passo 4

Como a curva r(t) é composta por três funções polinomiais que são contínuas em todos os reais, a combinação delas também será contínua para qualquer valor de t que a gente escolher.

Resposta

A curva r(t) = ( t + 1,; t^2 - 2t,; t^3 + 3t + 1 ) é contínua para todo valor de t in R .

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