(20 pontos) Calcule o posto da matriz
E=(cccc -1 & 1 & 0 & 1 0 & 4 & 0 & 2 1 & 3 & 1 & 0 2 & 7 & -3 & -2 )
A partir do resultado do posto da matriz E , o que é possível afirmar sobre o det(E) ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular o posto (ou ) da matriz
O conteúdo é Álgebra Linear: determinamos por operações elementares até chegar à forma escalonada. Em seguida, usamos o fato de que, para uma matriz , se então , caso contrário .

Passo 2

Primeiro, obtemos um pivô 1 em linha1. Para isso trocamos linha1rightarrowlinha3, ficando
1 & 3 & 1 & 0 0 & 4 & 0 & 2 -1 & 1 & 0 & 1 2 & 7 & -3 & -2
Em seguida eliminamos a primeira coluna em linha3 adicionando linha3 + linha1, e em linha4 subtraindo 2cdotlinha1. Isso leva a
1 & 3 & 1 & 0 0 & 4 & 0 & 2 0 & 4 & 1 & 1 0 & 1 & -5 & -2

Passo 3

Agora escolhemos como pivô na segunda coluna o valor 1 em linha4. Para isso trocamos linha2rightarrowlinha4, obtendo
1 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & -5 & -2 0 & 4 & 1 & 1 0 & 4 & 0 & 2
Em seguida eliminamos a segunda coluna nas demais linhas:
  • linha1 linha1 - 3cdotlinha2,
  • linha3 linha3 - 4cdotlinha2,
  • linha4 linha4 - 4cdotlinha2.
    Fica
1 & 0 & 16 & 6 0 & 1 & -5 & -2 0 & 0 & 21 & 9 0 & 0 & 20 & 10

Passo 4

Por fim, na terceira coluna temos pivô em . Eliminamos a entrada em fazendo
e obtemos
onde . Assim aparece um quarto pivô na coluna 4, logo .

Resposta

O posto de é .
Como a matriz é e tem posto máximo, concluímos que .

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